Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теорема сложения вероятностей. Определение. Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В




Определение. Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Например, если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А + В – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и В – несовместные, то А + В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Определение. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.

Пусть события А и В – несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие А, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Доказательство. Введем обозначения: n – общее число возможных элементарных исходов испытания; m 1 – число исходов, благоприятствующих событию А; m 2 – число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m 1 + m 2. Следовательно,

.

Приняв во внимание, что m 1/ n = P (A) и m 2/ n = P (B), окончательно получим

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А 1 + А 2 +…+ Аn) = Р (А 1) + Р (А 2) + …+ Р (Аn).

Доказательство. Рассмотрим три события: А, В и С. Так как рассматриваемые события попарно несовместны, то появление одного из трех событий, А, В и С равносильно наступлению одного из двух событий, А + В и С, поэтому в силу указанной теоремы

Р (А + B + C) = Р [(А + B) + C ] = Р (А + B) + P (C) = Р (А) + Р (В) + P (C).

Для произвольного числа попарно несовместных событий доказательство проводится методом математической индукции.

Пример. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих я 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красвого, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие А)

Р (А) = 10/30= 1/3.

Вероятность появления синего шара (событие В)

Р (В) = 5/30 =1/6.

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) = 1/3+1/6 = 1/2.

Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение. События А – «стрелок попал в первую область» и В – «стрелок попал во вторую область» – несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) = 0,45 + 0,35 = 0,80.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 1153; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.