Одновременно совершаются гармонические колебания одного направления

Сложение колебаний.

Под сложением колебаний понимают нахождение закона результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система участвует в нескольких колебательных процессах.

Предельные случаи:

1) Одинаковой частоты: и , то результирующее колебание совершается с той же частотой по гармоническому закону .

Опр. 2.4.1. Два гармонических колебательных процесса называются когерентными колебаниями, если они согласованно протекают во времени, так что их разность фаз остается постоянной.

Для отыскания и пользуются методом векторных диаграмм, основанный на том, что в каждый момент времени вращающиеся векторы амплитуд складываемых колебаний и результирующий вектор связаны соотношением . В скалярной форме .

Т.к. косинус – функция ограниченная, то возможные значения амплитуды заключе-ны в пределах

Начальная фаза результирующего колебания может быть найдена по формуле: .

Частные случаи:

o , где . Тогда и

o , где . Тогда и

2) Разной частоты: и , то результирующее колебание не является гармоническим. Его можно представить в следующей форме: , где .

Начальная фаза . Гармонические колебания, частоты которых различны, некогерентны, т.к. разность их фаз непрерывно изменяется с течением времени.

3) Мало отличаются по частоте – биения. Величина периодически изменяется в пределах от до . . Период биения .

Частота биений , возникающих при сложении двух колебаний с различными, но по значению частотами и : .

4) Сложное (негармоническое) периодическое колебание: в виде ряда Фурье.

2. Одновременно совершаются гармонические колебания во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей x и y.

1) Одинаковой частоты: и . Уравнение траектории результирующего колебания находится с помощью исключения из уравнений параметра t. . Это уравнение эллипса, характеристики которого определяются значением разности фаз . В предельных случаях эллипс вырождается в прямую или окружность. В случае, если начальные фазы , уравнение траектории принимает вид: .

2) Разной частоты: замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой называются фигурами Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

Пример 2.4.1. Совершаются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениями см, и см. Определить амплитуды, периоды и начальные фазы складываемых колебаний. Написать уравнение результирующего колебания.

Решение:

Уравнение гармонических колебаний в общем виде: , тогда и . Амплитуда результирующего колебания , т.к. , то результирующее колебание будет иметь тот же период . Тангенс начальной фазы результирующего колебания рад. Получаем уравнение результирующего колебания .

Пример 2.4.2. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых см и см. Определить траекторию точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба.

Решение:

(т.к. ). Мы получили уравнение параболы, ось которой лежит на оси . Амплитуда колебаний по равна 1, по - 2. Период колебаний по равен 2с, по - 4с, т.е. в начальный момент времени имеем:

Дата добавления: 2014-01-11