Сложные проценты

Процесс расчета приращенной суммы со стоимости, учитывающей полученные за предыдущий период доходы, называется капитализацией или реинвестированием. Наращенная сумма к концу периода определяется по формуле:

FV = PV (1 + i) ⁿ,

Например, по договору с банком на срочный вклад размещены денежные средства в сумме 1000 д.е. на два года с ежегодным начислением 20 % годовых по схеме сложных процентов. Необходимо определить какую сумму получит вкладчик через два года, если банк выполнит свои обязательства.

FV = 1000 (1 + 0,2) ² = 1440 д.е.

Рассмотрим различие действия механизма простых и сложных процентов на примере.

Сумма депозитного вклада составляет первоначально 100 тыс. руб. ставка 20% годовых. Требуется определить наращенную стоимость по простым и сложным процентам за ряд лет. Результаты оформим в таблицу. 16. 1

FV за 180 дней = 100 (1 + 0,2) ^0,5 = 109,54 тыс. руб.

Таблица 16.1

Проценты	Периоды наращения суммы
180 дней	1 год	2 года	5 лет	10 лет	20 лет
Простые
Сложные	109,54			248,83	619,17	3833,76

Пример показывает, что

1) при периоде менее года простые проценты более выгодны кредитору, банку;

2) при периоде 1 год использование простых и сложных процентов приводит к равным результатам;

3) при периоде более года использование сложных процентов приводит к более интенсивному росту наращенной суммы, т.е. выгоднее кредитору, банку.

Различие в механизмах простых и сложных процентах наглядно видно на графике (Рис. 16.2.).

Сложные проценты могут исчисляться не только по обычным процентным ставкам, но и по авансовым. При использовании авансовых ставок формула расчета будущей стоимости денег выглядит следующим образом:

FV = PV / (1 – d) ⁿ

Где d – авансовая учетная ставка.

Наращенная Сложные

стоимость проценты

денег Простые проценты

Современная

стоимость денег 0 1 Период

наращения

денег, лет

Рис. 16.2. Рост денежных средств при начислении простых и сложных процентов

Например, клиент взял в банке ссуду 200 тыс. д.е. под 12 % годовых. При расчете по декурсивным процентам будущая стоимость денег и стоимость услуг банка составит:

FV = PV (1 + I =) ⁿ 200 000 (1 + 0.12) ² = 250 880 д.е., услуги банка = 50 880 д.е.

При авансовом расчете будущая сумма денег, которую должен вернуть клиент, составит:

FV = PV / (1 – d) ⁿ =200 000 / (1 – 0.12) ² =258 264 д.е., а стоимость услуг банка (его доход) равняется разности FV – PV = 258 264 – 200 000 = 58 264 д.е.

Таким образом, кредитору, банку выгоднее взимать проценты по авансовым процентным ставкам сразу в момент выдачи кредита, а должнику предпочтительнее расплачиваться в момент окончания срока кредита.

Расчет современной стоимости денег по декурсивным (обычным) сложным процентам осуществляется по формуле дисконтирования:

FV

PV = -----------

(1 + I)) ⁿ

Величину (1 + I)) ⁿ или 1 /(1 + I)) ⁿ называют множителем наращения или дисконтирующим множителем. Значения этих коэффициентов приводятся в специальных таблицах в зависимости от процентной ставки и срока наращения.

При банковском дисконтировании по сложной авансовой ставке процента расчет первоначальной стоимости осуществляется по формуле:

PV = FV (1 - d) ⁿ

где d – учетная авансовая ставка процента.

Когда учетная ставка является сложной, процесс дисконтирования происходит с замедлением, так как на каждом этапе во времени или в каждом периоде учетная ставка –d применяется не к первоначальной сумме, а к сумме, уменьшенной на величину дисконта, определенного на предыдущем этапе. Дисконт в этом случае исчисляется по формуле:

D = FV – PV = FV – FV * (1 – d) ⁿ

Расчет по декурсивной и дисконтной (авансовой) ставкам дает разные результаты.

Как уже отмечалось, увеличение первоначальной суммы за счет прибавления к ней начисленных процентов, называется капитализацией. Чем чаще банк осуществляет капитализацию и позволяет снимать доход со счета, тем выгоднее клиенту. Поэтому банки могут начислять проценты помесячно, поквартально, по полугодиям. Процентная ставка в этом случае также устанавливается помесячно, поквартально, по полугодиям.

Например, клиент заключил с банком депозитный договор. Первоначальная сумма вклада 10 тыс. д.е. Срок депозита 2 года. Квартальная ставка 4,5% при годовой ставке 18%.

Наращенная сумма за 2 года будет составлять FV = 10 (1 + 0,045) ⁸ = 14 221 д.е.

Обычно на практике в кредитном договоре фиксируется годовая ставка i и число периодов начисления процентов в году m. За каждый период проценты начисляются по ставке i /m. то есть, годовая ставка делится на число периодов начисления процентов в году. В этом случае годовая ставка называется номинальной ставкой.

Начисление процентов по номинальной ставке осуществляется по формуле:

FV = PV (1 + I / m) ^N

где m – число начисления процентов за год;

N – число начисления процентов за весь период сделки, N = m * n;

n – число лет.

Если начисление и капитализация процентов осуществляется ежемесячно, в течение 2 лет, N = 12 * 2 = 24. А наращенная сумма в выше приведенном примере будет составлять:

FV = 10 (1 + 0,18/12) ²⁴ = 14 295 д.е.

Таким образом, ежемесячное начисление процентов и их капитализация по сравнению с ежеквартальным реинвестированием дает дополнительную выгоду клиенту:

Δ D = 14 295 – 14221 =74 д.е. или 0,74% от первоначальной суммы.

Годовая ставка i, при которой финансовый результат не будет отличаться от результат при начислении процентов m раз в году по ставке i /m, называется эффективной или действительной ставкой. Иначе говоря, эффективная ставка характеризует тот реальный относительный доход, который получает кредитор за год при начислении процентов m раз в год по ставке i / m. Связь между эффективной и номинальной годовыми ставками выражается следующим образом:

(1 + i) ⁿ = (1 + j /m) ^{m n}

где i – эффективная годовая ставка;

j – номинальная годовая ставка.

Дата добавления: 2014-01-20