Модель развития экономики

Однопродуктовая экономическая система, характеризуется в каждый момент времени t (время не прерывное) набором переменных

X, Y, C, K, L, I, где

K – объём основных производственных фондов

Y – интенсивность конечного продукта, идущего на непроизводственное потребление.

Х – интенсивность выпуска валового продукта в рассматриваемый период

L – живая сила.

Эти переменные взаимосвязаны.

Имеет место условие баланса в каждый момент времени:

Х=аХ+Y, где 0<a<1

Конечный продукт распределяется на валовые инвестиции и непроизводственное потребление

Y=I+C

Валовые инвестиции расходуются на прирост капитала и восстановление ОПФ за счёт амортизационных отчислений.

- коэффициент амортизации.

Тогда:

, или

- доля непроизводственного потребления.

Будем считать что, размеры валового продукта определяются заданной ПФ, характеризующей возможности производства и зависимости от величины капитала (К), L и времени t.

ПФ непрерывна и выполняются все условия

и

Решение необходимо искать при условии

- заданный уровень ОПФ

Пусть заданы ОПФ в начальный и конечный момент времени:

К(0)=К₀; К(T)=К₁ (2)

Допустимое множество М в рассматриваемой задаче описывается условиями 1 и 2.

Допустимый процесс представлен совокупностью функций

u=(K(t), x(t), u(t)) удовлетворяющей этим условиям.

Х – состояние экономической системы

u – управление.

Задача управления данной системой состоит в том, чтобы найти такой процесс u=(K(t), x(t), u(t)) который обеспечивал бы наибольшее среденедушевое потребление на исследуемом интервале времени [0; T] с учётом дисконтированного потребления:

Х – состояние экономической системы

u – управление.

- коэффициент дисконтирования.

Сделаем замену переменных, приводя их к удельным (приходящимся на душу населения) показателям на душу населения. Это позволяет сопоставить однородные показатели больших и малых экономических систем.

Введём в уравнение (1) относительные переменные.

k=K/L – капиталовооружённость (стоимость ОПФ к числу работников предприятия, должна постоянно расти)

c=C/L – среднедушевое потребление

x=X/L – производительность труда – продуктивность производственной деятельности людей; измеряется количеством продукции, произведённой работником в сфере материального производства за единицу рабочего времени, или количеством времени, которое затрачено на производство единицы продукции.

Так как, K=kL; X=xL, то уравнение (1), примет вид:

После дифференцирования получим:

Будем считать, что прирост трудовых ресурсов осуществляется с постоянным темпом (на не слишком продолжительном отрезке времени это реально).

, тогда

Окончательное дифференциальное уравнение имеет вид

Функция, производственная Кобба-Дугласа — совокупная зависимость объема производства и основных факторов производства, труда и капитала, его создающих, рассчитанная в 20-е гг. XX в. для обрабатывающей промышленности США экономистом П.Дугласом и математиком Ч.Коббом и имеющая вид: Y = АКL Предполагается, что объем производства Y определяется двумя факторами: К (количеством капитала, то есть используемых средств произвосдтва) и L (количеством труда). Степенные показатели и показывают, на сколько процентов увеличится продукция, если увеличить на 1% соответственно количество капитала и труда, каждый раз оставляя количество другого фактора фиксированным. Величина А есть коэффициент пропорциональности; ее можно трактовать также как величину, учитывающую все качественные, не выражающиеся в количествах капитала и труда, факторы производства. Аппарат производственной функции располагает значительными аналитическими возможностями. Производственная функция входит в статические модели, позволяя исследовать текущие соотношения затрат ресурсов и результатов производства. Есть динамические варианты, предназначенные для прогнозирования экономического роста. Модели производственной функции с успехом применяются при изучении хозяйственной деятельности предприятия. В то же время они легко поддаются агрегированию, превращаясь в средство моделирования народнохозяйственных процессов. Концепция производственной функции развивается в двух основных направлениях. Первое — учет в производственной функции макроэкономического типа фактора технологического прогресса. В рамках другого, тесно связанного с первым направления, анализируются проблемы замещения одного фактора производства другим.

Функция, производственная леонтьевского типа — функция производственная, предусматривающая прямую пропорциональную зависимость между выпуском продукции и затратами какого-либо фактора на ее производство. Общий выпуск однозначно определяется объемом лимитирующего фактора.

Модель, автономная — часть системы моделей, которую можно анализировать независимо от других частей. Например, модель предприятия в системе моделей АСУ отрасли, концерна или иного объединения предприятий. В экономике автономность частных моделей всегда относительна.

Модель экономической динамики — класс математических моделей экономики, в которых основное внимание сосредоточено на закономерностях ее развития во времени, по годам.

Модель экономического роста, двухфакторная — модель роста экономики, построенная на предположении, что только два фактора — капитал и труд — участвуют в создании валового национального продукта. Согласно этой модели возрастание средств производства, капитала, по отношению к фиксированному количеству труда, при отсутствии технологических изменений будет приводить к падению нормы прибыли на капитал, а также к падению реальной ставки процента при одновременном росте реальной заработной платы и объема производства. Модель является упрощенной, так как не учитывает влияния технического прогресса

Дисконтирование — L — метод, применяемый при оценке и отборе инвестиционных программ. Суть его заключается в приведении разновременных инвестиций и денежных поступлений фирмы к определенному периоду времени и определению коэффициента окупаемости капиталовложения — «внутренней нормы доходности».

Путь развития, экстенсивный — способ увеличения объемов производства за счет количественных факторов экономического роста: дополнительного привлечения рабочей силы, расширения посевных площадей, увеличение добычи сырья, строительства новых объектов. Возможности экстенсивного пути развития всегда ограничены наличием природных и трудовых ресурсов.

Путь развития, интенсивный — способ увеличения объемов производства за счет качественных факторов экономического роста — повышение производительности труда, внедрение высокоэффективных технологий и т.д.

Эластичность — реакция одной переменной на небольшое относительное изменение другой, например, изменение спроса на экспортируемые промышленные товары вследствие изменения курса валюты или изменение спроса в результате изменения цен. Товары считаются менее «эластичными», если изменения цен мало влияют на имеющийся на них спрос.

Подход к изучению экономики, Статический — изучение экономических состояний на данный момент времени (в отличие от динамического подхода). При помощи статического подхода изучается отраслевая структура экономики, то есть взаимосвязи составляющих ее отраслей в процессе производства (инструментом такого исследования служит статический межотраслевой баланс). Статической по своему характеру является и система национальных счетов, которая отражает определенный «временной срез» происходящего в экономике движения как материальных, так и стоимостных потоков.

Математическое моделирование экономических процессов — выражение на языке основных свойств, сторон экономических процессов, в их взаимной связи и обусловленности. Наиболее часто математическая модель экономического процесса, представляет собой систему уравнений и неравенств, состоящих из набора переменных величин и параметров. Переменные Математические модели характеризуют определенные экономические величины (например, объем выпускаемой продукции, объем капитальных вложений и т.п.), а параметры — количественные связи между отдельными экономическими величинами (например, нормы расхода металла на производство станков определенного типа и т.п.). Переменные, значение которых в модели являются определенными, называются экзогенными, автономными. Переменные, значения которых должны быть найдены в результате анализа системы уравнений, образующих математическую модель экономического процесса, — эндогенными. Количественное решение математической модели экономического процесса предполагает нахождение значений неизвестных (эндогенных ) переменных величин, которые должны быть выражены через значение параметров и известных (экзогенных) переменных или должен быть дан алгоритм их нахождения по этим данным. В зависимости от целей и задач, модели условно можно разделить на статические и динамические. В статических моделях все экономические показатели привязываются к определенному моменту времени и не рассматривается связь между показателями разных периодов развития экономического объекта. В динамических моделях развитие экономического процесса рассматривается во времени (то есть рассматривается временная взаимосвязь экономических показателей). Модели могут различаться по уровню исследуемого экономического объекта. Например, могут быть построены математические модели функционирования отдельного предприятия, отрасли, экономики страны в целом. По природе функциональных проблем экономико- математические модели делятся на балансовые модели и модели оптимального функционирования экономических объектов. Балансовые модели экономических объектов с математической точки зрения характеризуются единственностью решения. С экономической точки зрения это означает, что с помощью математических балансовых моделей при заданных параметрах и выбранных значениях экзогенных переменных можно составить только один вариант плана функционирования экономического объекта, в котором устанавливаются необходимые пропорции между его отдельными элементами. Балансовые модели не решают проблему выбора наилучшего варианта плана функционирования экономического объекта, математические модели оптимального функционирования позволяют из множества вариантов плана выбрать такой, в котором с точки зрения принятого критерия оптимальности ресурсы используются наилучшим образом. Математическое решение задачи оптимального функционирования экономического объекта означает нахождение условного экстремума (максимума или минимума) некоторого функционала, который рассматривается как критерий оптимальности (целевая функция) деятельности экономического объекта.

Тема 10. Задача управления.

1. Задача управления и её формулировка.

Динамическая задача рационального ведения хозяйства – это задача распределения ограниченных ресурсов для достижения комплекса конкурирующих целей на протяжении некоторого промежутка времени. Задача формулируется в математических терминах.

Переменные величины – управляющие параметры.

Множество функций – множество управления времени.

Задача состоит в выборе управляющих параметров как функций времени, принадлежащих множеству управлений. Эти функции определяют переменные функций времени, и с помощью них описывается поведение системы.

Эти переменные – фазовые координаты. Их значения выбираются для максимума целевого функционала. Функции времени для управляющих параметров и координат связаны с помощью ДУ – уравнений движения. Такая задача называется задачей управления.

При строгой формулировке задачи управления используются понятия:

− время (момент времени),

− фазовые координаты,

− управляющие параметры,

− управления движения,

− определение конечного момента,

− целевой функционал.

Время t изменяется как непрерывная величина, t изменяется в фиксированном промежутке t₀-t₁, где t₀ – начальный промежуток (известный), t₁ – конечный, требуется найти.

t – характеризуется фазовыми координатами,

x(t)=(x₁(t), x₂(t), … x_n(t))

из них составляется фазовый вектор.

Начальное состояние x(t₀)=х₀

Конечное состояние x(t₁)=х₁

Решения которые нужно осуществить в каждый данный момент времени t из указанного интервала, характеризуется с помощью R вещественных чисел u₁(t), u₂(t), … u_r(t) и называются управляющими параметрами.

Задача состоит в выборе из заданного допустимого множества значений ряда переменных, называемых средствами, так же значений, при которых достигается максимум заданной целевой функции.

Траектория движения ракеты:

Управляющие параметры – включение двигателя, длительность, сила тяги.

Фазовые переменные – траектория ракеты, масса, положение, скорость.

Зависимость фазовых координат от силы тяги – ДУ.

Расчёт траектории – отыскание max целевого функционала.

u(t)=(u₁(t), u₂(t), … u_r(t)) ´

Управление должно принадлежать указанному множеству управлений – U

{u(t)}ÎV

Фазовая траектория определяется из уравнений движения, т.е., ДУ.

x(t)=f(x(t), u(t),t)

или

Целевой функционал представляет собой отображение управления (функции времени) на точки вещественной прямой.

– Задача Больца

I показывает что функционал зависит от фазовых координат и параметров, и времени.

F показывает что функционал зависит от конечного состояния и конечного момента времени.

Если функция конечных параметров =0, то

– задача Лагранжа.

Задача в которой I=0, так что

– задача Майера.

Общая задача управления состоит в следующем: требуется найти

(1)

При условии, что x=f(x,u,t)t₀ и x(t₀)=x₀ фиксированы, (x(t),t)ÎT (заданное подмножество) при t=t₁, {u(t)}ÎV.

Дата добавления: 2014-01-20