Синтез оптимального управления

Ограничения на состояния х отсутствует (1-3). Множество М допустимых процессов – это множество пар вектор - функции x(t), u(t), удовлетворяющих условиям задачи и накладывающих на них соответствующие ограничения. Множество М зависит от t₀, x₀ т.е., М=М(t₀, x₀). При изменении аргументов t₀, x₀ на t₀*, x₀* получим новое допустимое множество М(t₀, x₀).

Если решать задачу при различных параметрах (t₀, x₀), оставляя без изменения другие условия задачи, то получим семейство оптимизационных задач А.

Зададим уравнение в виде функции

u=u*(t, x), u*(t, x)ÎV^tx (6)

Задав начальное состояние t₀, x₀ и подставляя выражение (6) в уравнение (2), получим (решая задачу Коши) вектор состояния x*(t, t₀, x₀), отвечающий заданному закону управления. Это решение является допустимым, т.к. отсутствует ограничение на состояние системы. Подставляя его в выражение (6), получим соответствующее ему управление в виде функции времени:

т.е. значение и вдоль траектории – функции состояния.

Вектор-функция u*(t, x) является синтезом оптимального управления, если процесс

V*(t, t₀, x₀)=(x*(t, t₀, x₀), u*(t, t₀, x₀))

есть решение задачи А для любых t₀, x₀. Это означает, что как только получена вектор-функция u*(t, x) и подставлена в уравнение процесса при любых t₀, x₀ найденный процесс становится оптимальным.

Зная оптимальную синтезирующую функцию u*(t, x) получаем решение не одной оптимизационной задачи, а семейства задач А при различных начальных условиях, наложенных на время и состояние системы (t₀, x₀). В этом состоит отличие от метода Лагранжа-Понтрягина, где оптимальное решение отыскивается не в форме синтеза оптимального управления u*(t, x), а в виде программы u*(t).

В теории автоматизированного регулирования u(t, x) называют управлением с обратной связью, а u(t) – программой управления.

В экономических задачах программа управления u(t) соответствует принятию решений на перспективу, а синтеза u(t, x) – регулированию (отслеживанию плана и принятию оперативных решений). Синтез оптимальных уравнений u*(t, x) в случае отклонения состояния системы от планового значения дает оптимальное решение и при новом её состоянии характеризующемся начальным уравнением х₀. Программное уравнение, независящее от текущего состояния х при этом теряет свою оптимальность.

Дата добавления: 2014-01-20