Зонная теория твердых тел

Лекция № 17

Образование энергетических зон

Согласно квантовой теории энергия электронов в атоме квантуется, то есть она может принимать дискретные значения, называемые уровнями энергии. В невозбужденном состоянии суммарная энергия электронов минимальна и распределение электронов по уровням подчиняется принципу Паули: на каждом уровне может быть не более двух электронов с противоположными спинами.

На рисунке показано размещение электронов по уровням в основном состоянии атома, имеющего пять электронов.

- электроны;

- направления спинов.

Если сближать два одинаковых атома, то внешние электронные оболочки начинают взаимодействовать между собой и становятся общими.

Каждый внешний уровень расщепляется на N уровней и образует полосу или зону.

При достаточно малых расстояниях между атомами может произойти перекрывание зон. Число уровней в зоне перекрытия равно сумме числа уровней каждого атома.

Нижние нерасщепленные уровнями зоны не утрачивают связи в кристалле со своим атомом.

Энергии валентных электронов объединяются в зоны, разделенные промежутками, которые называются запрещенными зонами. Ширина разрешенных и запрещенных зон не зависит от размеров кристалла. Чем больше атомов содержит кристалл, тем теснее располагаются уровни в зоне.

Валентные электроны заполняют попарно нижние уровни разрешенной зоны.

В зависимости от первоначального энергетического состояния атома различают несколько зон. Мы ограничимся рассмотрением валентной зоны, то есть зоны, соответствующей уровням энергий валентных электронов.

Существуют термины: густота линий в зоне и расстояние между зонами

По степени заполнения уровней валентной зоны и по ширине запрещенной зоны все вещества делятся на металлы изоляторы и полупроводники.

Движение электронов под действием внешнего электрического поля. Эффективная масса электрона.

Свободные электроны в валентной зоне кристалла в отсутствии внешнего поля движутся хаотично. Под воздействием внешнего поля электроны смещаются в направлении сил этого поля.

Термин «свободный электрон» означает, что на него не действуют никакие силовые поля. В действительности электроны проводимости в металле движутся в периодическом силовом поле кристаллической решетки.

Движение электронов носит волновой характер, то есть его можно представить как распространение группы волн с частотами в интервале от до . Максимальная амплитуда этой группы волн соответствует центру электрона. Это так называемый волновой пакет.

Волновой пакет распространяется с групповой скоростью , которая для свободного электрона является мгновенной скоростью, а для электрона, движущегося в периодическом поле кристалла – его средней скоростью.

Групповая скорость волны

, (1)

где - волновой вектор;

- длина волны.

Энергия электрона связана с циклической частотой соотношением

. (2)

Откуда . Подставив в (1), получим

. (3)

Следовательно, . (4)

Ускорение, которое приобретает электрон, двигаясь в периодическом поле кристалла

.

Изменив в этом выражении порядок дифференцирования, получим

.

Производная - это средняя мощность, развиваемая внешней силой, разгоняющей электрон, то есть . Следовательно,

.

Сравнив эти значения с ІІ законом Ньютона ,

получим - масса электрона при его движении в кристалле. Она называется эффективной массой электрона.

Введение эффективной массы позволяет, абстрагируясь от взаимодействия электронов с решеткой, определять характер движения электрона под действием внешнего поля. Приписав электрону массу m^* , мы можем исследовать поведение электрона под действием силы – еЕ, считая его свободным.

Эффективная масса электрона в кристалле не определяет ни инерционных, ни гравитационных свойств. Введение этой величины дает возможность пользоваться формулами, определяющими состояние электрона

; ; .

Заполнение зон.

А) Металлы

Валентная зона заполняется электронами не полностью и для металлов называется зоной проводимости. Если приложить внешнее поле, то электроны из нижних уровней никак не могут перейти запрещенную зону, а электроны из валентной зоны могут свободно перейти на более высокий уровень и образовать зону проводимости.

Кристалл с подобной схемой энергетических уровней будет представлять собой металл.

Б) Полупроводники

Если приложит к такому кристаллу внешнее поле, то энергии поля недостаточно, чтобы перевести электроны из валентной зоны в зону проводимости. Однако, если невелико, при повышении температуры некоторое количество электронов может перейти в зону проводимости и далее перемещаться под действием электрического поля. На месте ушедшего электрона образуется дырка, то есть проводимость полупроводника будет создаваться электронами и дырками.

В) Изоляторы

Если ширина запрещенной зоны велика (порядка нескольких эВ), то ни электрическое, ни тепловое движение не может перевести электроны в зону проводимости. В этом случае кристалл будет изолятором.

Г) Полуметаллы (Висмут, Сурьма)

Для кристаллов этого типа характерно перекрытие зоны проводимости и валентной зоны. Электроны с верхнего уровня валентной зоны переходят на нижний уровень зоны проводимости.

Определение ширины запрещенной зоны

Известно, что электропроводность полупроводников сильно зависит от температуры.

,

- ширина запрещенной зоны;

- электропроводность при температуре Т;

- электропроводность при Т=0.

; (домножим на -1)

.

Следовательно, изменяя температуру можно получить линейную зависимость.

Отсюда , то есть .

Дата добавления: 2014-01-20