Сущность задачи проверки статистических гипотез

Проверка статистических гипотез

В статистике всякое утверждение рассматривается как гипотеза. На практике рассматриваются несколько гипотез для анализа генеральных совокупностей (имеющихся результатов наблюдений - эмпирических данных).

Определение. Статистической гипотезой называется предположение о какой-либо характеристике распределения генеральной совокупности или о самом виде этого распределения.

Примерами статистических гипотез являются следующие предположения:

- генеральная совокупность распределена по показательному закону;

- математические ожидания двух показательно распределенных выборок равны друг другу.

В первой из них высказано предположение о виде закона распределения, а во второй – о параметрах двух распределений.

Различают простые и сложные гипотезы.

Гипотезуназывают простой, если она однозначно характеризует параметр распределения случайной величины.

Например, если является параметром показательного распределения, то гипотеза о равенстве = 10–простая гипотеза.

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного множества простых гипотез.

Пример. Сложная гипотеза о неравенстве > 10 состоит из бесконечного множества простых гипотез о равенстве =b_i , где b_i – любое число, большее 10.

Пусть рассматривается две гипотезы:

- основная (нулевая) гипотеза (та гипотеза, которую проверяют);

- альтернативная (конкурирующая) гипотеза - это утверждение, которое имеет место, если основная гипотеза не справедлива.

Пример. Нулевая гипотеза, – число.

Варианты различных альтернативных гипотез:

·

·

·

· .

Замечание. Гипотезы и не обязательно образуют полную группу.

При решении задач требуется проверить, какая из выдвинутых гипотез верна: нулевая или альтернативная .

Так как проверка гипотезы осуществляется статистическим методом, то при выборе гипотез могут быть допущены ошибки. Различают два рода ошбок.

Ошибка первого рода возникает с вероятностью тогда, когда отвергается верная гипотеза и принимается конкурирующая гипотеза . Вероятность называется уровнем значимости. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0.05 или 0.01. Если, например, принят уровень значимости, равный 0.05, то это означает, что в пяти случаях из ста мы рискуем допустить ошибку первого рода - отвергнуть правильную гипотезу.

Ошибка второго рода возникает с вероятностью в том случае, когда принимается неверная гипотеза , в то время как справедлива альтернативная гипотеза Н ₁.

Доверительная вероятность – это вероятность не совершить ошибку первого рода и принять верную гипотезу , она равна.

Вероятность отвергнуть ложную гипотезу называется мощностью критерия, она равна .

Следовательно, при проверке гипотезы возможны четыре варианта исходов, приведенных в таблице:

Гипотеза	Решение	Вероятность	Наименование
Верна	Принимается		Доверительная вероятность
Отвергается		Вероятность ошибки первого рода
Неверна	Принимается		Вероятность ошибки второго рода
Отвергается		Мощность критерия

Определение. Статистическим критерием называется правило, указывающее как по значению статистической характеристики сделать вывод об отклонении или принятии гипотезы .

То есть проверка гипотезы основывается на вычислении некоторой случайной величины – статистического (выборочного) критерия. Его значение - число - является функцией от элементов выборки.

Таким образом, возникает вопрос определения значений критерия , при которых следует принимать основную гипотезу , а при которых – альтернативную .

После выбора определенного статистического критерия множество всех его возможных значений разбивается на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другое – при которых она принимается.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, т.е.:

если , то отвергается в пользу .

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают, т.е.:

если , то принимается.

Таким образом, основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Поскольку критерий – одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область W и область принятия гипотезы также являются интервалами и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют.

Критическими точками (границами) называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) или двустороннюю критические области.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством , где – положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством , где – отрицательное число.

Односторонней называют правостороннюю или левостороннюю критическую область.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами , , где .

В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенствами (в предположении, что ): , или равносильным неравенством .

Дата добавления: 2014-01-20