Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критериюК. Пирсона

Сущность проверки гипотезы о законе распределения эмпирических данных заключается в следующем. Имеется выборка эмпирических данных фиксированного объема, выбран или известен вид закона распределения генеральной совокупности. Необходимо оценить по этой выборке степень согласованности эмпирических данных и выбранного закона распределения.

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производится так же, как и проверка гипотезы о параметрах распределений, т.е. при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Допустим, что в результате наблюдений получено эмпирическое распределение:

			…
			…

Выдвинем статистическую гипотезу: генеральная совокупность, из которой извлечена данная выборка, имеет нормальное распределение. Требуется установить, согласуется ли эмпирическое распределение, представленное в таблице с этой гипотезой.

Для проверки нулевой гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности существует несколько критериев согласия: хи-квадрат () К. Пирсона, Колмогорова, Мизеса и др.

Рассмотрим вопрос проверки согласованности распределений с использованием критерия К. Пирсона.

Предположим, что вычислены теоретические частоты:

При уровне значимости требуется проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

Обозначим через среднее арифметическое квадратов разностей между эмпирическими и теоретическими частотами, взвешенное по обратным величинам теоретических частот:

.

Чем больше согласуются эмпирическое и теоретическое распределения, тем меньше будут различаться эмпирические и теоретические частоты, и тем меньше будет . Уже отсюда видно, что в известной степени характеризует близость эмпирического и теоретического распределений. Очевидно, в разных опытах будет принимать различные, наперед неизвестные значения, т.е. является случайной величиной.

Итак, в качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину .

Дифференциальная функция этого распределения (для выборки достаточно большого объема) не зависит от проверяемого закона распределения (поэтому рассматриваемый критерий может применяться для проверки не только нормального, но и других законов), а зависит от параметра , называемого числом степеней свободы. При проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности параметр определяется формулой: , где - число частичных интервалов, на которые разбиты данные наблюдений.

Поскольку односторонний критерий более «жестко» отвергает нулевую гипотезу , чем двусторонний, построим правостороннюю критическую область, исходя из требования, что вероятность попадания критерия в эту область была бы равна принятому уровню значимости , т.е.:

.

Таким образом, правосторонняя критическая область определяется условием , а область принятия нулевой гипотезы – неравенством .

Следовательно, для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена нормально, необходимо вычислить значение критерия по данным выборки - и сравнить его со значением , определенным по таблицам.

Если при этом - то нет оснований отвергать нулевую гипотезу , если же- то нулевая гипотеза отвергается.

Замечание. На практике необходимо следить за тем, чтобы объем выборки был достаточно велик (в крайнем случае ) и чтобы каждая группа содержала не менее 5-8 значений признака (малочисленные группы следует объединить в одну, суммируя частоты).

Итак, для проверки нулевой гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности следует:

1. вычислить теоретические частоты;

2. вычислить ;

3. вычислить число степеней свободы ;

4. выбрать уровень значимости ;

5. найти по таблицам для найденных и :

6. сравнить и : если , то нулевую гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергают; если же , то нулевую гипотезу принимают.

Пример. Проверить, согласуются ли данные выборки:

со статистической гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности, из которой извлечена эта выборка.

1. Теоретические частоты для данной выборки были получены ранее:

2. Вычислим , для чего составим расчетную таблицу:

		-1 -4 -8 -7 -1		0,07 0,38 0,78 0,49 1,07 1,32 0,09
				=9,2

Сложив числа последнего столбца, найдем =9,2.

3. Вычислим число степеней свободы (учитывая, что число групп выборки ): .

4. Примем уровень значимости =0,01.

5. По таблице для и =0,01 найдем =16,8.

6. Сравнивая и видим, что : 9,2<16,8.

Следовательно, данные наблюдений согласуются с нулевой гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Дата добавления: 2014-01-20