Проверка гипотезы о значении математического ожидания генеральной совокупности

Пусть имеется генеральная совокупность распределенной по нормальному закону случайной величины . Пусть генеральная дисперсия известна: . Пусть извлечена – выборочная совокупность объемом . Требуется по выборочной средней при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу : (о равенстве генеральной средней некоторому значению).

Итак : , – некоторое число. Например, – размер детали (– распределена по нормальному закону) и – проектный размер детали.

Предположим, что альтернативная гипотеза : (это означает, что критическая область является двухсторонней.)

Выберем – уровень значимости гипотезы .

Построим статистический критерий .

Найдем критическую область (для которой нулевая гипотеза отвергается):

или .

Очевидно, что вероятность попадания статистического критерия в область принятия гипотезы есть . Рассмотрим задачу нахождения вероятности того, что отклонение нормально распределенной величины от параметра не превосходит по модулю некоторого числа (т.е. определим границы области, где гипотеза принемается):

,

тогда

Следовательно

(находится из таблиц).

И, таким образом, .

Тогда критическая область будет иметь вид:

Пример. Пусть распределена по нормальному закону и .

Необходимо проверить нулевую гипотезу : , при : .

Так как , то и тогда границы области допустимых значений определяются как:

Ввиду того, что , т.е. , то нулевая гипотезапринемается.

Рассмотрим второй случай. Нулевая гипотеза : , альтернативная гипотеза : (это означает, что критическая область является левосторонней.) Далее по аналогии.

Выберем – уровень значимости гипотезы .

Построим статистический критерий .

Найдем критическую область (для которой нулевая гипотеза отвергается):

или или

Очевидно, что вероятность попадания статистического критерия в область принятия гипотезы есть . Определим границы области, где гипотеза принимается:

,

тогда

Таким образом, .

Следовательно

(находится из таблиц).

И, таким образом, .

Тогда критическая область будет иметь вид:

.

Т.е. если , то гипотеза отвергается, если, то гипотеза принимаеся.

Пример. Пусть распределена по нормальному закону и .

Необходимо проверить нулевую гипотезу : , при : .

Так как , то и тогда граница области допустимых значений определяется как:

Ввиду того, что , т.е. , то нулевая гипотезапринимается.

Если в условиях примера , то . В этом случае , т.е. . Следовательно, нулевая гипотезаотвергается в пользу .

Рассмотрим третий случай. Нулевая гипотеза : , альтернативная гипотеза : (это означает, что критическая область является правосторонней.) Далее по аналогии.

Выберем – уровень значимости гипотезы .

Построим статистический критерий .

Найдем критическую область (для которой нулевая гипотеза отвергается):

или или

Очевидно, что вероятность попадания статистического критерия в область принятия гипотезы есть . Определим границы области, где гипотеза принемается:

,

тогда

Таким образом, .

Следовательно

(находится из таблиц).

И, таким образом, .

Тогда критическая область будет иметь вид:

.

Т.е. если , то гипотеза принемается, если, то гипотеза отвергается в пользу .

Дата добавления: 2014-01-20