Пример 1. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y, заданные рядами распределения вида

Рассмотрим две случайные величины: Х и Y, заданные рядами распределения вида

	0,1	0,8	0,1
	0,5	0,5

Найдем М (Х) = 49·0,1 + 50·0,8 + 51·0,1 = 50, М (Y) = 0·0,5 + 100·0,5 = 50. Как видно, математические ожидания обеих величин равны, но если для Х М (Х) хорошо описывает поведение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (причем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отстоят от М (Y). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, насколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия.

Определение 1. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

D (X) = M (X – M (X))². (4)

Пример 2. Найдем дисперсию случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных.

Решение. Составим ряд распределения для Х. Из условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3.

,

,

.

Тогда .

Вычислим значения квадрата отклонения каждого возможного значения от математического ожидания: (1–2,4)² = 1,96; (2 – 2,4)² = 0,16; (3 – 2,4)² = 0,36. Следовательно,

.

Замечание. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.

Для вычисления дисперсии существует также формула:

D (X) = M (X ²) – M ²(X). (5)

Доказательство. Используя то, что М (Х) – постоянная величина, и свойства математического ожидания, преобразуем формулу (4) к виду:

D (X) = M (X – M (X))² = M (X ² - 2 X·M (X) + M ²(X)) =

= M (X ²) – 2 M (X)· M (X) + M ²(X) = M (X ²) – 2 M ²(X) + M ²(X) = = M (X ²) – M ²(X),

что и требовалось доказать.

Пример 3. Вычислим дисперсии случайных величин Х и Y, рассмотренных в примере 1.

D (Х) = (49²·0,1 + 50²·0,8 + 51²·0,1) – 50² =

=2500,2 – 2500 = 0,2.

D (Y) = (0²·0,5 + 100²·0,5) – 50² = 5000 – 2500 = 2500.

Итак, дисперсия второй случайной величины в несколько тысяч раз больше дисперсии первой. Таким образом, даже не зная законов распределения этих величин, по известным значениям дисперсии мы можем утверждать, что Х мало отклоняется от своего математического ожидания, в то время как для Y это отклонение весьма существенно.

Свойства дисперсии:

1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D (C) = 0. (6)

Доказательство.

D (C) = M ((C – M (C))²) = M ((C – C)²) = M (0) = 0.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D (CX) = C ² D (X). (7)

Дата добавления: 2014-01-20