Доказательство. D(CX) = M((CX – M(CX))²) = M((CX – CM(X))²) = M(C²(X – M(X))²) = C²D(X)

Доказательство.

D (CX) = M ((CX – M (CX))²) = M ((CX – CM (X))²) = M (C ²(X – M (X))²) = C ² D (X).

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D (X + Y) = D (X) + D (Y). (8)

Доказательство. По формуле (5)

D (X + Y) = M (X ² + 2 XY + Y ²) – (M (X) + M (Y))² =

= M (X ²) + 2 M (X) M (Y) + M (Y ²) – M ²(X) – 2 M (X) M (Y) –

­­­­­­­­­– M ²(Y)=(M (X ²)– M ²(X))+(M (Y ²)– M ²(Y))= D (X)+ D (Y).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины.

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D (X – Y) = D (X) + D (Y). (9)

D (X – Y) = D (X) + D (- Y) = D (X) + (-1)² D (Y) = D (X) + D (X).

Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.

Определение 2. Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

. (10)

Очевидно, размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины, поэтому среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и СВ . Среднее квадратическое отклонение применяется тогда, когда желательно получить оценку рассеяния СВ в тех же единицах, в которых выражены значения самой величины. X

Пример 4. В примере 3 средние квадратические отклонения Х и Y равны соответственно , .

Замечание. Общее определение дисперсии дано как для ДСВ так и для НСВ, однако с учетом специфики вычисления математического ожидания для дискретного и непрерывного случаев приведем формулы для расчета дисперсии для ДСВ:

(11)

или

(12)

и НСВ:

(13)

или

(14)

Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины не выходят за пределы интервала [ a, b ], то интегралы в формулах (13) и (14) вычисляются в этих пределах.

Пример 5. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид:

Найти М (Х), D (X), σ.

Решение.

, , .

Дата добавления: 2014-01-20