Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс

Кроме математического ожидания и дисперсии в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.

Определение 3. Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность или плотность достигает максимума).

Если вероятность или плотность достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным.

Определение 4. Медианой непрерывной случайной величины называется такое ее значение, для которого справедливо равенство

(15)

Очевидно равенство .

Определение 5. Квантилем уровня (или -квантилем) называется такое значение случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное , т.е.

(16)

Введенное выше понятие медианы СВ есть квантиль уровня 0,5. Квантили и получили название соответственно верхнего и нижнего квартилей. В литературе также встречаются термины: децили, под которыми понимаются квантили ,,…и процентили – квантили , , …, .

Среди числовых характеристик СВ особое значение имеют моменты – начальные и центральные.

Определение 6. Начальным моментом -го порядка СВ называется математическое ожидание -ой степени этой величины:

(17)

Определение 7. Центральным моментом -го порядка СВ называется математическое ожидание -ой степени отклонения СВ от ее математического ожидания.

(18)

При первый начальный момент СВ есть ее математическое ожидание, т.е. ; при второй центральный момент – дисперсия, т.е. .

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Он имеет размерность куба СВ. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на . Полученная величина A называется коэффициентом асимметрии СВ:

(19)

Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии .

Четвертый центральный момент служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Определение 8. Эксцессом СВ называется число

(20)

Число 3 вычитается из соотношения , т.к. для наиболее часто встречающегося нормального распределения, отношение . Кривые, более островершинные чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.

Дата добавления: 2014-01-20