Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Первообразные рациональных функций




Рассмотрим вопрос об интегралах вида ,

Где - отношение двух полиномов.

Из курса алгебры известно, на множестве вещественных чисел любую такую дробь можно разложить в сумму следующего вида:

, (*)

Где p(x) – многочлен (он появляется при делении P(x) на Q(x) только если степень P(x) не меньше степени Q(x));

- однозначно определяемые вещественные числа;

А многочлен Q(x) имеет вид

. (**)

Так как из неправильной рациональной дроби можно исключить целую часть, интегрирование которой не представляет трудностей, то достаточно рассмотреть вопрос об интегрировании правильных дробей, т.е. дробей, у которых степень числителя ниже степени знаменателя.

Из них остановимся на так называемых простых дробях; это будут дроби следующих видов:

1);

2);

3);

4), k, m=2,3,…

Где A, M, N, a, p, q – вещественные числа, кроме того по отношению к дробям вида 3 и 4 предполагают, что трехчлен не имеет вещественных корней, т.е. .

Дроби видов 1 и 2 мы уже имеем интегрировать:

;

, .

Интегрирование дробей вида 3 и 4 облегчается подстановкой (1). Для того, чтобы воспользоваться подстановкой (1)выделим из выражения полный квадрат.

Получим и воспользуемся подстановкой (1). Получим:

;

Для дроби вида 3 будем иметь

Возвращаясь теперь к старым переменным и учитывая, что

Получаем (2)

Для дроби вида 4:

(3)

Первый из интегралов справа в формуле (3) легко вычисляется подстановкой

Будем иметь

(4)

Второй из интегралов справа в формуле (3), при любом m, может быть вычислен по рекуррентной формуле, а именно, применим к нему формулу интегрирования по частям.

Получим

Таким образом,

(5)

Подставив последнее соотношение в (5), получим

. (6)

Очевидно,

, и т.д.

Таким образом, можно вычислить интеграл для любого натурального m. Окончательно останется лишь вернуться к старой переменной x, положив . Этим исчерпывается вопрос об интегрировании простых дробей.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 424; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.007 сек.