Разложение правильных дробей на простые

Из формул (*) и (**) видно, что разложение правильтной дроби на простые дроби тесно связано с разложением её знаменателя на множители. Как известно, каждый целый многочлен с вещественными коэффицентами разлагается (и при том единственным образом) на вещественные множители вида и , причём квадратные множители предпологаются не имеющими вещественных корней. Объединяя одинаковые множители (если такие имеются) и пологая, для простоты, старший коэффициент Q(x), равным 1 можно записать разложение Q(x) в виде (**).

Таким образом, зная разложение (**), мы, тем самым, знаем знаменатели тех простых дробей, на которые разлагается данная дробь .

Для определения числовых коэффициентов в числителях простых дробей, обычно, используют метод неопределённых коэффициентов, который рассмотрим на примерах.

Пример:

, приводим к общему знаменателю:

Приравниваем соответствующие коэффициенты числителей:

Итак,

Интегрирование рациональных дробей.

Пример:

Первообразные вида

Воспользуемся подстановкой ,

Имеем

Таким образом,

Указаннная подстановка является универсальной. Часть такой пусть приводит к очень громоздкой рациональной функции.

В ряде случаев существуют и другие возможности рацианализации исходного интеграла.

(1)В случае интегралов вида:

Удобна подстановка

Действительно,

Таким образом,

(2)В случае интегралов вида:

или

Можно внести функции sinx? Cosx под знак дифференциала и сделать замену t=cosx или t=sinx соответственно. После замены эти интегралы будут иметь вид:

Примеры:

1); ,

.

2).

Первообразные вида

Если удастся сделать замену x=x(t) так, что обе функции x(t) и y=y(x(t)) окажутся рациональными функцмями от t, то - тоже рациональная функция от t и - интеграл от рациональной функции.

Рассмотрим некоторые существующие случаи:

Если

,

Делаем замену:

,

И таким образом подынтегральное выражение рационализируется.

Пример:

,

где , .

1)Рассмотрим теперь случай, когда , т.е. рассмотрим интегралы вида: .

Выделяя полный квадрат в трёхчлене и делая соответствующую линейную замену переменной, сводим общий случай к однорму из следующих простейших.

(*), , .

Для рационализации этих интегралов теперь достаточно положить соответственно:

, или , или ;

, или , или ;

, или , или .

Эти подстановки были предложены Эйлером. Проверим, что после первой подстановки мы сведём первый интеграл к интегралу от рациональной функции. Действительно,

;

Дата добавления: 2014-01-20