Первообразная функция. Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Пусть функция f(x) определена на множестве М, которое является либо интервалом (конечным или бесконечным), либо сегментом.

Замечание. Рассмотрение сегмента необходимо для применения неопределенного интеграла в дальнейшем для вычисления определенного интеграла.

Определение. Функция F(x) называется первообразной (функцией) для функций f(x) на множестве М, если она дифференцируема в каждой точке х множества М и .

Замечание. В концевых точках сегмента рассматриваются односторонние производные.

Пример. f(x)=2x

Действительно:

Очевидно, что если F(x) является первообразной для функций f(x) на множестве М, то F(x)+C (C = const) также является первообразной для f(x) на множестве М .

Теорема 1. Пусть F₁(x) и F₂(x) - любые первообразные для функции f(x) на множестве М, тогда F₁(x) - F₂(x) = С "x Î M, где С = const.

Доказательство. Положим,

G(x)= F₁(x) - F₂(x), тогда G(x) дифференцируема на М (в случае сегмента в концевых точках существуют односторонние производные) и

,

откуда следует, что G(x)=C =const , т.е.

F₁(x) - F₂(x) º С=const .

Теорема доказана. Таким образом показано, что любые первообразные для одной и той же функции на множестве М могут отличаться лишь на константу.

Следствие. Если F(x) - одна из первообразных для f(x) на множестве М, то любая первообразная F(х) для f(x) на М представляются в виде F(х)=F(x)+C, где С - некоторая константа.

Дата добавления: 2014-01-20