Основные свойства неопределенного интеграла

1⁰. Пусть функция F(x) дифференцируема на М, тогда

2⁰. Пусть функция f(x) имеет первообразную на множестве М, тогда

Здесь под интегралом понимается любая первообразная F(x) функции f(x). Справедливость этой формулы очевидна в силу определения первообразной: так

.

3⁰. Если функции f₁(x) и f₂(x) имеют первообразные на М, то и функция

f₁(x) + f₂(x) также имеет первообразную на М, и

. (1)

Это равенство означает совпадение двух множеств функций, т.е., что сумма каких-либо первообразных для функций f₁(x) и f₂(x) является первообразной для функции f₁(x) + f₂(x), и наоборот, всякая первообразная для функции f₁(x) + f₂(x) является суммой некоторых первообразных для функций f₁(x) и f₂(x).

Доказательство. Пусть

Положим F(x)=F₁(x)+F₂(x), тогда F(x) дифференцируема на М и

т.е F(x) является первообразной функции f₁(x) + f₂(x) на М. Таким образом,

Так как с₁+с₂ - также произвольная постоянная, то множества

совпадают.

Свойство 3⁰ доказано. Аналогично доказывается, что

.

4⁰. Если функция f(x) имеет первообразную на М и аÎR, то функция аf(x) также имеет на М первообразную, причем при а¹0 имеет место равенство

(2)

Доказательство. Пусть , тогда . Таким образом

Так как , то также является произвольной постоянной, и множества совпадают. Свойство 4⁰ доказано.

Свойства 3⁰ и 4⁰ выражают свойства линейности неопределенного интеграла относительно подынтегральной функции.

Вопрос о существовании первообразных остается пока открытым.

Дата добавления: 2014-01-20