Пример. б) Метод подстановки.Пусть требуется вычислить интеграл

.

б) Метод подстановки. Пусть требуется вычислить интеграл . Введем новую переменную u формулой x=j(u), где j(u) строго монотонная дифференцируемая функция.

Подставим x=j(u) в исходное подынтегральное выражение, получим

По теореме 2 справедливо равенство

,

т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще исходного) и последующей подстановке

u=j^-1(x)

Пример , x>0. Положим x=u² uÎ(0,+¥); u² строго монотонна на этом множестве, , откуда

.

Конечно, такой прием применим не ко всякому интегралу. Кроме того, следует подчеркнуть, что выбор правильной подстановки в значительной мере определяется искусством вычислителя.

Рассмотрим еще один пример, который позволит нам расширить таблицу интегралов

.

Аналогично вычисляются следующие интегралы:

.

Дата добавления: 2014-01-20