Необходимое условие интегрируемости

Т°. Функция, интегрируемая на некотором промежутке, необходимо ограничена на нём.

Множество функций, интегрируемых на промежутке, обозначается: R (I) или R _{[ a , b ]}.

Напоминание: Критерий Коши существования предела по базе функции

Þ .

∆ Докажем: ограничена на I. Так как функция интегрируема, то

От противного: Предположим, что не ограничена на I. Тогда не ограничена на некотором подпромежутке промежутка разбиения , т.е. при :

Это следует из интегрируемости функции .

Но, если выбрать разбиения и , отличающиеся только одной отмеченной точкой , для которых (это возможно, т.к. функция неограниченна) то получим: . Полученное противоречие доказывает теорему. ▲

Но ограниченность – только необходимое условие интегрируемости, однако недостаточное. Например, функция Дирихле не интегрируема (хотя и ограниченна). В самом деле: , и, следовательно, предел интегральных сумм не существует.

Дата добавления: 2014-01-11