Суммы и интегралы Дарбу

Рассмотрим разбиение промежутка [ a, b ] – Р _{[ a , b ]}. Для каждого промежутка разбиения выберем

;

и построим суммы: и , называемые нижней и верхней суммами Дарбу.

При этом: и , .

Нетрудно понять, что при измельчении разбиения не уменьшаются, а не увеличиваются: .

Таким образом, нижние суммы Дарбу при измельчении разбиении образуют монотонно возрастающую и ограниченную сверху, а верхние – монотонно убывающую и ограниченную снизу последовательности. По теореме Вейерштрасса каждая из этих последовательностей имеет предел при . Эти пределы называются нижним и верхним интегралами Дарбу.

, и, кроме того, .

Дата добавления: 2014-01-11