Критерий Дарбу интегрируемости функций по Риману

Т°. Функция f (x) интегрируема на промежутке [ a, b ], тогда и только тогда, когда её

верхний и нижний интегралы Дарбу равны между собой.

Û Û .

∆. а). Пусть функция интегрируема по Риману. Тогда

Û .

Следовательно: и, в силу того, что и верхняя и нижняя суммы Дарбу есть частные случаи сумм Римана, получим . Переходя к пределу при получаем, что , т.е.

.

б). Пусть верхний и нижний интегралы Дарбу совпадают. Принимая во внимание, что и используя теорему о двух милиционерах, переходим к пределу при : . ▲

Другие формулировки того же критерия:

*). Если интегрируема на , то .

*). Если интегрируема на , то .

Дата добавления: 2014-01-11