Достаточные условия интегрируемости функции по Риману

Критерий Римана интегрируемости функции

Интеграл с переменным верхним пределом

Свойства определенного интеграла

Достаточные условия интегрируемости функции по Риману

Критерий Римана интегрируемости функции

План

Теорема 1 (критерий Римана интегрируемости функции). Для того, чтобы функция была интегрируема по Риману на сегменте необходимо и достаточно, чтобы

.

Пример. Рассмотрим функцию Дирихле:

.

Докажем, что не интегрируема по Риману на любом сегменте. Возьмем любое разбиение сегмента. Понятно, что всегда

,.

Тогда любая

,

а.

Таким образом, функция не интегрируема по Риману на любом сегменте.

Замечание. Если интегрируема на, то не только интегральные суммы, но и суммы Дарбу стремятся к значению интеграла при.

Обозначим - колебание функции на частичном сегменте. В этих обозначениях

.

Тогда критерий Римана интегрируемости функции может быть сформулирован следующим образом: для того, чтобы функция была интегрируема по Риману на сегменте необходимо и достаточно, чтобы

.

Теорема 2. Пусть функция непрерывна на сегменте, тогда она интегрируема по Риману на.

Доказательство. Поскольку непрерывна на сегменте, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на. Возьмем, для него такое, что для любого разбиения сегмента на частичные сегменты такие, что,, будет иметь место неравенство:. Тогда, т.е., а - интегрируема по Риману.

Теорема 3. Пусть функция ограничена на сегменте и имеет на конечное количество точек разрыва. Тогда интегрируема по Риману на.

Визначення 1. Говорят, что множество точек имеет меру Жордана 0, если для существует конечная совокупность интервалов, которая покрывает множество, а сумма длин интервалов, которые входят в эту совокупность, не превышает.

Теорема 4. Если множество точек разрыва функции, которые принадлежат, имеют меру Жордана 0, то интегрируема по Риману на.

Пример. Рассмотрим функцию

на сегменте. Найдем точки разрыва для функции на этом сегменте. Функция является сложной и имеет точки разрыва там, где разрывы есть у внутренней или внешней функции. Поскольку при функции являются непрерывными, то разрывы могут быть только благодаря разрывам внешней функции, которые происходят при.

.

Полученное множество точек разрыва имеет меру Жордана 0. Действительно, поскольку

,

то по определению предела последовательности это означает, что любая окрестность точки 0 ()будет содержать все элементы последовательности, за исключением, возможно, конечного количества. Поэтому все множество точек разрыва можно покрыть конечным множеством интервалов суммарной длины меньше. Таким образом, по теореме 4 функция интегрируема по Риману на.

Теорема 5. Пусть функция определена и монотонна на сегменте. Тогда интегрируема по Риману на.

Доказательство. Пусть для определенносты монотонно возрастает на сегменте, а - произвольное разбиение сегмента. Для монотонно возрастающей функции. Возьмем произвольно. Пусть. Тогда

Это означает, что

,

т.е. интегрируема по Риману на по теореме 1.

Вывод. Пусть функция определена на сегменте и имеет место хотя бы одно из следующих условий:

1. непрерывна на;

2. Множество точек разрыва функции имеет меру Жордана 0;

3. монотонна на,

тогда интегрируема по Риману на.

Определение 2. Говорят, что множество точек имеет меру Лебега 0, если для существует конечная или счетная совокупность интервалов, которая покрывает множество, а сумма длин интервалов, которые входят в эту совокупность, не превышает.

Теорема 6 (Критерий Лебега). Для того, чтобы функция була интегрируема по Риману на необходимо и достаточно, чтобы множество ее точек разрыва на имело меру Лебега ноль.

Дата добавления: 2014-01-11