Властивості визначеного інтегралу

Достатні умови інтегрованості функції за Риманом

Теорема 2. Нехай функція неперервна на сегменті, тоді вона інтегрована за Риманом на.

Доказ. Оскільки неперервна на сегменті, то за теоремою Кантора вона рівномірно неперервна на. Візьмемо, для нього таке, що для будь-якої розбивки сегмента на часткові сегменти такі, що,, буде мати місце нерівність:. Тоді, тобто, а - інтегрована за Риманом.

Теорема 3. Нехай функція обмежена на сегменті і має на скінченну кількість точок розриву. Тоді інтегрована за Риманом на.

Визначення 1. Кажуть, що множина точок має міру Жордана 0, якщо для існує скінченна сукупність інтервалів, яка покриває множину, а сума довжин інтервалів, що входять в цю сукупність, не перевищує.

Теорема 4. Якщо множина точок розриву функції, які належать, має міру Жордана 0, то інтегрована за Риманом на.

Приклад. Розглянемо функцію

на сегменті. Знайдемо точки розриву для функції на цьому сегменті. Функція є складною і має точки розриву там, де розриви є у внутрішній чи зовнішній функції. Оскільки при функції є неперервними, то розриви можуть бути тільки завдяки розривам зовнішньої функції, які відбуваються при.

.

Отримана множина точок розриву має міру Жордана 0. Дійсно, оскільки

,

то за визначенням границі послідовності це означає, що будь-який окіл точки 0 () буде містити всі елементи послідовності, за виключенням, можливо, скінченної кількості. Тому всю множину точок розриву можна покрити скінченною множиною інтервалів, сумарною довжиною менше. Таким чином, за теоремою 4 функція інтегрована за Риманом на.

Теорема 5. Нехай функція визначена і монотонна на сегменті. Тоді інтегрована за Риманом на.

Доказ. Нехай для визначеності монотонно зростає на сегменті, а - довільна розбивка сегмента. Для монотонно зростаючої функції. Візьмемо довільно. Нехай. Тоді

Це означає, що

,

тобто інтегрована за Риманом на за теоремою 1.

Висновок. Нехай функція визначена на сегменті і має місце хоча б одна з наступних умов:

1. неперервна на;

2. Множина точок розриву функції має міру Жордана 0;

3. монотонна на,

тоді інтегрована за Риманом на.

Визначення 2. Кажуть, що множина точок має міру Лебега 0, якщо для існує скінченна або зчисленна сукупність інтервалів, яка покриває множину, а сума довжин інтервалів, що входять в цю сукупність, не перевищує.

Теорема 6 (Критерій Лебега). Для того, щоб функція була інтегрована за Риманом на необхідно і достатньо, щоб множина її точок розриву на мала міру Лебега ноль.

1. Нехай функція інтегрована на сегменті (тоді воно обовязково буде обмеженою на цьому сегменті). Якщо змінити значення функції в скінченній кількості точок, то отримаємо інтегровану за Риманом функцію, до того ж

.

Доказ. Візьмемо будь-яку розбиву сегмента (таких розбивок існує безліч):

.

Побудуємо інтегральні суми для функцій и, що відповідають розбивці:

,

точки беремо довільно на часткових сегментах, але однаковими для обох функцій и. Інтегральні суми можуть відрізнятися одна від іншої лише на скінченну кількість доданків (тільки тоді, коли точка - це та точка, в якій було змінене значення функції, а таких точок лише скінченна кількість). Кожен з доданків в інтегральних сумах прямує до 0, коли, а тому будуть прямувати до нуля і ті доданкі (їх скінченна кількість), якими відрізняються. Оскільки за умовою функція інтегрована за Риманом на сегменті, то за визначенням існує

.

Оскільки з вищенаведеного витікає, що

,

тобто, завдяки існуванню границі функція також буде інтегрованою за Риманом, а завдяки рівності границь отримаємо, що

.

Завдання. Нехай функція на за винятком скінченной сукуності точок, де функція приймає значення 1. Чи буде інтегрована за Риманом на? Якщо вона інтегрована, то чому дорівнює її інтеграл? Відповідь пояснити.

2. Нехай функція інтегрована за Риманом на сегменті, а. Тоді інтегрована за Риманом на сегменті.

Доказ. Оскільки інтегрована за Риманом на сегменті, то за критерієм Лебега інтегрованості функції, міра Лебега точок розриву на цьому сегменті дорівнює 0. На сегменті їх не може бути більше, ніж на, тому міра Лебега точок розриву на теж дорівнює 0, а тому інтегрована за Риманом на сегменті.

3. Нехай функція інтегрована за Риманом на сегменті, тоді також інтегрована за Риманом на сегменті, до того ж

.

Доказ. Оскільки інтегрована за Риманом на сегменті, то за критерієм Лебега інтегрованості функції, міра Лебега точок розриву на цьому сегменті дорівнює 0. Функція не може мати розривів більше, ніж. Приклади побудови графіка функції з використанням графіка наведені на рис.1 (для отримання графіка та частка графіка, яка знаходиться в нижній координатній напівплощині, відображається симетрично відносно осі ОХ) (чорним кольором намальований графік поданої функції, червоним – частки графіка, які змінюються відносно графіка).

Рис.1.

Завдання. Подивіться уважно, які зміни відбулися (чи не відбулися) у точках розриву функцій на рис.1.

Оскільки кількість точок розриву для функції відносно не зростає, то міра Лебега множини точок розриву також буде дорівнювати 0, а тому функція буде інтегрованою за Риманом.

За властивістю модуля маємо: для

. (10)

Помножимо нерівність (10) на (оскільки, знаки нерівності не зміняться):

. (11)

Нерівність (11) може бути отримана для кожного часткового сегмента, де. Додамо ці нерівності одну до іншої. Отримаємо:

. (12)

Середня частина нерівності (12) – це інтегральна сума для функції, ліва і права частини (12) – це і відповідно, де - інтегральна сума для. Таким чином, нерівність (12) можна записати у вигляді:

. (13)

Переходячи в нерівності (13) до границі, коли, враховуючи, что функції і інтегровані за Риманом, та визначення інтегралу Римана, отримаємо:

,

звідки, користуючись функцією модуля:

.

4. Нехай функція інтегрована за Риманом на сегменті і, тоді

.

Визначення 1. Нехай і функція визначена і інтегрована за Риманом на сегменті, тоді

.

Визначення 2. Для

.

5. (Аддитивність інтегралу Римана).

При будь-якому взаємному розміщенні точок має місце рівність:

.

Доказ. Розглянемо якесь конкретне взаєме розміщення точок, наприклад,. Тоді за властивістю 4, враховуючи, що саме точка знаходиться між, маємо:

,

тобто

.

Переносячи з правої частини останньої рівності доданок вліво з протилежним знаком, отримаємо:

.

6. (Лінійність інтегралу).

Нехай функції інтегровані за Риманом на сегменті і нехай, тоді функції, також є інтегрованими на, і виконуються рівності:

,

.

7. Нехай функції інтегровані за Риманом на сегменті. Тоді також інтегрована за Риманом на сегменті.

8. Нехай функції інтегровані за Риманом на сегменті і для. Тоді

.

Завдання. Показати, що якщо визначена і на сегменті, то

.

Завдання. Нехай визначена на сегменті, на сегменті і. Чи можна тоді стверджувати, що в кожній точці сегмента? Чому?

9. (Перша теорема про середнє)

Нехай функція визначена і інтегрована за Риманом на сегменті, а, (оскільки за умовою функція інтегрована за Риманом на сегменті, то за необхідною умовою інтегрованості, ця функція обовязково обмежена на сегменті, а тому у неї існують інфімум і супремум). Тоді

.

Доказ. Нехай - довільна розбивка сегмента,. Тоді

(для

.

Сума, яка стоїть всередині останньої формули, є інтегральною сумою для функції, а, тоді остання формула може бути записаною у вигляді:

. (14)

Якщо в формулі (14) перейти до границі, коли, то, враховуючи, що - це сталі, а тому

,

а також, враховуючи, що функція інтегрована за Риманом на сегменті, отримаємо, що

.

Наслідок. Нехай функція визначена і інтегрована за Риманом на сегменті, а і визначені вище. Тоді таке, що

.

Геометрично це буде означати наступне: якщо функція визначена і інтегрована за Риманом на сегменті, то знайдеться таке число, що площа криволінійної трапеції (на рис.1 ця площа заштрихована чорним кольором), яка обмежена графіком функції, віссю ОХ і прямими, буде чисельно дорівнювати площі прямокутника (на рис.1 ця площа заштрихована червоним кольором), сторони якого мають довжини (це відрізок) і (див. рис.2).

Приклад. Оцінити значення інтеграла

,

не обчислюючи його.

Для поданого інтегралу. Для його оцінки скористаємося першою теоремою про середнє. Для цього нам потрібно знайти інфімум і супремум функції на сегменті:

.

Таким чином,,. Тоді

.

Завдання. Не обчислюючи безпосередньо, оцінити значення інтегралу.

10. (Узагальнена теорема про середнє)

Нехай функції інтегровані за Риманом на сегменті і виконуються умови:

а) для;

б) чи для.

Тоді таке, що

. (15)

Доказ. Припустимо спочатку, що для. За першою умовою

.

Враховуючи, що, помножимо останню нерівність на, залишивши знаки нерівності незмінними:

. (16)

Оскільки інтегровані за Риманом на сегменті, то за властивістю 7, також інтегрована за Риманом на сегменті. Тоді, враховуючи властивість 8, проінтегруємо нерівність (16) за Риманом на:

. (17)

Враховуючи властивість 6, винесемо постійні множники за знак інтегралу, тоді (17) буде мати вид:

. (18)

Оскільки за нашим припущенням, то і, тобто можливі два варіанти:

1.; 2..

Розглянемо перший варіант. Якщо, то (18) буде мати вид:

,

а це можливо тільки тоді, коли.Тоді

і як можна взяти будь яку сталу, тобто у цьому випадку теорема має місце.

Розглянемо другий варіант. Оскільки, то можна поділити почленно нерівність (18) на і при цьому знаки нерівності залишаться незмінними:

. (19)

Якщо через позначити

, (20)

то з (19), а з (20)

,

тобто знайдена стала задовольняє всім вимогам.

Нехай тепер, тоді і для такої функція теорема вже доведена, тобто таке, що

.

Користуючись лінійністю інтеграла Римана, винесемо -1 (постійний множник) за знак інтеграла:

,

Помножимо обидві частини отриманої рівності на -1:

,

тобто теорема доведена і для випадку, коли.

Дата добавления: 2014-01-11