Свойства определенного интеграла

1. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте (тогда она обязательно будет ограниченной на этом сегменте). Если изменить значение функции в конечном количестве точек, то получим интегрируемую по Риману функцию, к тому же

.

Доказательство. Возьмем любое разбиение сегмента:

.

Построим интегральные суммы для функций и, которые отвечают разбиению:

,

точки берем произвольно на частичных сегментах, но одинаковыми для обеих функций и. Интегральные суммы могут отличаться одна от другой лишь на конечное количество слагаемых (только тогда, когда точка - это та точка, в которой было изменено значение функции, а таких точек лишь конечное количество). Каждое из слагаемых в интегральных суммах стремится к 0, когда, а потому будут стремиться к нулю и те слагаемые (их конечное количество), которыми отличаются. Поскольку по условию функция интегрируема по Риману на сегменте, это по определению существует

.

Поскольку из вышесказанного вытекает, что

,

т.е., благодаря существованию предела функция также буде интегрируемой по Риману, а благодаря равенству пределов получим, что

.

Задание. Пусть функция на за исключением конечной совокупности точек, где функция принимает значение 1. Будет ли интегрируема по Риману на? Если она интегрируема по Риману, то чему равен ее интеграл? Ответ объяснить.

2. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте, а. Тогда интегрируема по Риману на сегменте.

Доказательство. Поскольку интегрируема по Риману на сегменте, то по критерию Лебега мера Лебега точек розрыва на этом сегменте равняется 0. На сегменте их не может быть больше, чем на, поэтому мера Лебега точек разрыва на тоже равняется 0, а потому интегрируема по Риману на сегменте.

3. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте, тогда также интегрируема по Риману на сегменте, к тому же

.

Доказательство. Поскольку интегрируема по Риману на сегменте, то по критерию Лебега мера Лебега точек розрыва на этом сегменте равняется 0. Функция не может иметь разрывов больше, чем. Примеры построения графика функции с использованием графика приведены на рис.1 (для получения графика та часть графика, которая находится в нижней координатной полуплоскости, отображается симметрично относительно оси ОХ) (черным цветом нарисован график данной функции, красным - части графика, которые изменяются относительно графика).

Рис.1.

Задание. Посмотрите внимательно, какие изменения произошли (или не произошли) в точках разрыва функций на рис.1.

Поскольку количество точек разрыва для функции относительно не возрастает, то мера Лебега множества точек разрыва также будет равняться 0, а потому функция будет интегрируемой по Риману.

По свойствам модуля имеем: для

. (10)

Умножим неравенство (10) на (поскольку, знаки неравенства не изменятся):

. (11)

Неравенство (11) может быть получено для каждого частичного сегмента, где. Сложим эти неравенства. Получим:

. (12)

Средняя часть неравенства (12) - это интегральная сумма для функции, левая и права части (12) - это и соответственно, где - интегральная сумма для. Таким образом, неравенство (12) можно записать в виде:

. (13)

Переходя в неравенстве (13) к пределу, когда, учитывая, что функции и интегрируемы по Риману и определение интеграла Римана, получаем:

,

откуда, пользуясь функцией модуля:

.

4. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте и, тогда

.

Определение 1. Пусть и функция определена и интегрируема по Риману на сегменте, тогда

.

Определение 2. Для

.

5. (Аддитивность интеграла Римана).

При любом взаимном расположении точек имеет место равенство:

.

Доказательство. Рассмотрим какое-то конкретное взаимное расположение точек, например,. Тогда по свойству 4, учитывая, что именно точка находится между, имеем:

,

т.е.

.

Перенося из правой части последнего равенства слагаемое влево с противоположным знаком, получим:

.

6. (Линейность интеграла).

Пусть функции интегрируемы по Риману на сегменте и пусть, тогда функции, также являются интегрируемыми по Риману на, и выполняются равенства:

,

.

7. Пусть функции интегрируемы по Риману на сегменте. Тогда также интегрируемы по Риману на сегменте.

8. Пусть функции интегрируемы по Риману на сегменте и для. Тогда

.

Задание. Показать, что если определена и на сегменте, то

.

Завдание. Пусть определена на сегменте, на сегменте и. Можно ли тогда утверждать, что в каждой точке сегмента? Почему?

9. (Первая теорема о среднем)

Пусть функция определена и интегрируема по Риману на сегменте, а, (поскольку по условию функция интегрируема по Риману на сегменте, то по необходимому условию интегрируемости, эта функция обязательно ограничена на сегменте, а потому у нее существуют инфимум и супремум). Тогда

.

Доказательство. Пусть - произвольное разбиение сегмента,. Тогда

(для

.

Сумма является интегральной суммой для функции, а, тогда последняя формула может быть записана в виде:

. (14)

Если в формуле (14) перейти к пределу, когда, то, учитывая, что - это постоянные, а потому

,

а также, учитывая, что функция интегрируема по Риману на сегменте, получаем, что

.

Следствие. Пусть функция определена и интегрируема по Риману на сегменте, а и определены више. Тогда такое, что

.

Геометрически это будет означать следующее: если функция определена и интегрируема по Риману на сегменте, то найдется такое число, что площадь криволинейной трапеции (на рис.1 эта площадь заштрихована черным цветом), которая ограничена графиком функции, осью ОХ и прямыми, будет численно равняться площади прямоугольника (на рис.1 эта площадь заштрихована красным цветом), стороны которого имеют длины (это отрезок) и (див. рис.2).

Пример. Оценить значение интеграла

,

не вычисляя его.

Для данного интеграла. Для его оценки воспользуемся первой теоремой о среднем. Для этого нам нужно найти инфимум и супремум функции на сегменте:

.

Таким образом,,. Тогда

.

Задание. Не вычисляя непосредственно, оценить значение интеграла.

10. (Обобщенная теорема о среднем)

Пусть функции интегрируемы по Риману на сегменте и выполняются условия:

а) для;

б) или для.

Тогда такая, что

. (15)

Доказательство. Предположим сначала, что для. По первому условию

.

Учитывая, что, умножим последнее неравенство на, оставивши знаки неравенства неизменными:

. (16)

Поскольку интегрируемы по Риману на сегменте, то по свойству 7, также интегрируема по Риману на сегменте. Тогда, учитывая свойство 8, проинтегрируем неравенство (16) по Риману на:

. (17)

Учитывая свойство 6, вынесем постоянные множители за знак интеграла, тогда (17) будет иметь вид:

. (18)

Поскольку по предположению, то и, то есть возможны два варианта:

1.; 2..

Рассмотрим первый вариант. Если, то (18) будет иметь вид:

,

а это возможно только тогда, когда.Тогда

и как можно взять любую постоянную, то есть в этом случае теорема имеет место.

Рассмотрим второй вариант. Поскольку, то можно поделить почленно неравенство (18) на и при этом знаки неравенства останутся неизменными:

. (19)

Если через обозначить

, (20)

то из (19), а из (20)

,

т.е. найденная постоянная удовлетворяет всем требованиям.

Пусть теперь, тогда и для такой функция теорема уже доказана, то есть такое, что

.

Пользуясь линейностью интеграла Римана, вынесем -1 (постоянный множитель) за знак интеграла:

,

Умножим обе части полученного равенства на -1:

,

то есть теорема доказана и для случая, когда.

Дата добавления: 2014-01-11