Критерій Римана інтегрованості функції

Інтеграл з перемінною верхньою межею

Властивості визначеного інтегралу

Достатні умови інтегрованості функції за Риманом

Критерій Римана інтегрованості функції

План

Лекція 16. Класи інтегрованих функцій

Интеграл с переменным верхним пределом

Определение 3. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте. Интегралом с переменным верхним пределом от функции называется функция

.

Пример. Пусть на сегменте рассматривается функция. Поскольку непрерывна на сегменте, она интегрируема по Риману на этом сегменте, а также на любом сегменте. Тогда по предыдущему определению для функции можно определить интеграл с переменным верхним пределом:

.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом является функцией, его значение можно вычислить в любой точке сегмента. Для того, чтобы вычислить нужно в интеграл Вместо верхнего переменного предела поставить конкретное значение и вычислить обычный интеграл Римана. Например:

Теорема. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте, тогда функция непрерывна в каждой точке.

Доказательство. Возьмем любые аргументы и рассмотрим.

Пусть сначала:

Поскольку интегрируема по Риману на сегменте, то она ограничена на этом сегменте, т.е.

, что для,

тогда

. (21)

Рассмотрим теперь случай, когда. Аналогично получим, что здесь имеет место неравенство

. (22)

Объединяя (21) и (22), получим, что для

. (23)

Учитывая (23), имеем:

, что таких, что выполняется:

что означает равномерную непрерывность (по определению равномерной непрерывности), а потому и просто непрерывность в каждой точке.

Теорема. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте и непрерывна в точке, тогда дифференцируема в точке и

.

Замечание. Условие непрерывности функции в точке не является необходимым для дифференцируемости функции в точке.

Пример. Пусть на за исключением конечного количества точек, где. Тогда

для,

поэтому дифференцируема в каждой точке, хотя имеет устранимые разрывы в конечном количестве точек.

Замечание. Если имеет в точке разрыв І-го рода, то недифференцируема в точке (теорема Дарбу).

Теорема 1 (критерій Римана інтегрованості функції). Для того, щоб функція була інтегрована за Риманом на сегменті необхідно і достатньо, щоб

.

Приклад. Розглянемо функцію Діріхлє:

.

Доведемо, що не інтегрована за Риманом на будь-якому сегменті. Візьмемо будь-яку розбивку сегмента. Зрозуміло, що завжди

,.

Тоді будь-яка

,

а.

Таким чином, функція не інтегрована за Риманом на будь-якому сегменті.

Зауваження. Якщо інтегрована на, то не тільки інтегральні суми, але й суми Дарбу наближаються до значення інтеграла при.

Позначимо - коливання функції на частковому сегменті. В цих позначеннях

.

Тоді критерій Римана інтегрованості функції може бути сформульований наступним чином: для того, щоб функція була інтегрована за Риманом на сегменті необхідно і достатньо, щоб

.

Дата добавления: 2014-01-11