Достаточные условия экстремума. Теорема 22.3. Пусть функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки х0, дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и с каждой стороны от данной

Теорема 22.3. Пусть функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки х₀, дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и с каждой стороны от данной точки f ′(x) сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) если f ′(x) > 0 при x < x₀ и f ′(x) < 0 при x > x₀, точка х₀ является точкой максимума;

2) если f ′(x) < 0 при x < x₀ и f ′(x) > 0 при x > x₀, точка х₀ является точкой минимума;

3) если f ′(x) не меняет знак в точке х₀, эта точка не является точкой экстремума.

Доказательство.

Справедливость утверждения 3) следует из теоремы 22.1. Докажем утверждения 1) и 2). По формуле Лагранжа f(x) – f(x₀) = f ′(ξ)(x – x₀), где х принадлежит окрестности точки х₀, а ξ лежит между х и х₀. Если f ′(ξ) > 0 при x < ξ < x₀ и f ′(ξ) < 0 при х₀ < ξ < x, приращение функции f(x) – f(x₀) < 0 по обе стороны х₀, то есть в рассматриваемой точке достигается максимум. Если же производная при х = х₀ меняет знак с «+» на «-», точка х₀ является точкой минимума. Следовательно, изменение знака производной в точке х₀ является необходимым и достаточным условием наличия экстремума в этой точке.

Теорема 22.4. Пусть f ′(x₀) = 0 и у рассматриваемой функции существует непрерывная вторая производная в некоторой окрестности точки х₀. Тогда х₀ является точкой максимума, если f ′′(x₀) < 0, или точкой минимума, если f ′′(x₀) > 0.

Доказательство. Докажем первую часть теоремы. Пусть f ′′(x₀) < 0. Так как по условию f ′′(x) непрерывна, существует окрестность точки х₀, в которой f ′′(x) < 0. Вспомним, что f ′′(x) = (f ′(x))′, и из условия (f ′(x))′ < 0 следует, что f ′(x) убывает в рассматриваемой окрестности. Поскольку f ′(x₀) = 0, f ′(x) > 0 при x < x₀ и f ′(x) > 0 при x > x₀. Тогда по теореме 22.3 точка х₀ является точкой максимума функции, что и требовалось доказать. Утверждение 2) доказывается аналогично.

Теорема 22.5. Пусть функция y = f(x) n раз дифференцируема в точке х₀ и f ^(k)(x₀) = 0 при k = 1,2,…, n -1, а f ⁽ⁿ⁾ (x₀) ≠ 0. Тогда, если n – четное число (n = 2 m), функция f(x) имеет в точке х₀ экстремум, а именно максимум при f ^(2m)(x₀) < 0 и минимум при f ^{( 2 m)}(x₀) > 0. Если же n – нечетное число (n = 2 m – 1), то точка х₀ не является точкой экстремума.

Доказательство.

Из формулы Тейлора (21.6) следует, что где ξ лежит между х и х₀.

а) Если n = 2 m – четное и f ^(2m)(x₀) < 0, то найдется окрестность точки х₀, в которой f ^(2m) (x) < 0. Пусть х принадлежит этой окрестности, тогда ξ тоже ей принадлежит, то есть f ^(2m)(ξ) < 0. Но (x – x₀)^2m > 0 при х ≠ х₀, поэтому f(x) – f(x₀) < 0 во всей рассматриваемой окрестности, следовательно, точка х₀ является точкой максимума.

б) Если n = 2 m – четное и f ^(2m)(x₀) > 0, то таким же образом доказывается, что х₀ – точка минимума.

в) Если n = 2 m - 1 – нечетное, то (x – x₀)^2m-1 имеет разные знаки по разные стороны точки х₀. Поэтому в окрестности этой точки, в которой производная порядка 2 m – 1 сохраняет постоянный знак, приращение функции меняет знак при х = х₀. Следовательно, экстремум в этой точке не достигается.

Вывод: проверить наличие экстремума в критической точке можно тремя способами:

1) убедиться, что f ′(x) меняет знак при х = х₀;

2) определить знак f ′′(x₀);

3) если f ′′(x₀) = 0, исследовать порядок и знак производной, не обращающейся в 0 в рассматриваемой точке.

Примеры.

1. Определим тип экстремума функции y = x ³ - 3 x + 7 при х = 1. Точка х = 1 является критической, так как y′ = 3 x ² - 3 x = 0 при х = 1. Так как при x < 1 y ′ < 0, а при x > 1 y ′ > 0, x =1 – точка минимума. Можно было установить этот факт и с помощью второй производной: y ′′ = 6 x – 3 = 3 > 0 при х = 1. Следовательно, функция в этой точке достигает минимума (теорема 22.4).

2. Исследуем на экстремум функцию y = x ⁵ + x ³. y ′ = 5 x ⁴ + 3 x ² = x ²(5 x ² + 3) = 0 при х = 0. При этом y′′ = 20 x ³ + 6 x = 0 при х = 0, y′′′ = 60 x ² + 6 = 6 ≠ 0 при х = 0. Порядок первой ненулевой производной в точке х = 0 равен нечетному числу 3, следовательно, по теореме 22.5 функция не имеет экстремума в этой точке, а так как критическая точка единственна, функция вообще не имеет экстремумов.

Наибольшее и наименьшее значения функции,

Дата добавления: 2014-01-11