Расширенная амплитудно-фазовая характеристика

Обычные частотные характеристики характеризуют реакцию звена (или системы) на незатухающие гармонические колебания. При решении задач синтеза АСУ часто пользуются расширенными частотными характеристиками, которые характеризуют реакцию звеньев на затухающие колебания (рис. 2.22).

Рисунок 2.22 – Затухающие колебания на входе системы

Затухающие колебания могут быть представлена следующим выражением:

(2.112)

Амплитуда колебаний, равная , с течением времени уменьшается, т.е. процесс носит затухающий характер. Степень затухания колебаний определяется конкретно выбранным значением m в соответствии с формулой:

(2.113)

или

(2.114)

где m – степень колебательности.

Если на вход звена или системы подавать колебания (2.112), то на выходе также установятся затухающие колебания:

(2.115)

Выходные колебания будут иметь другую амплитуду и будут сдвинуты по фазе.

Отношение выходных колебаний к входным определяет расширенную амплитудно-фазовую характеристику W(m,jω):

(2.116)

Необходимо отметить, что в инженерной практике метод экспериментального определения расширенных частотных характеристик не применяется вследствие сложности постановки эксперимента. Поэтому в настоящее время расширенные частотные характеристики получают либо аналитическим путем (по дифференциальному уравнению или передаточной функции), либо графическим методом по заданным графикам обычных частотных характеристик. Для пояснения методов определения расширенных частотных характеристик рассмотрим конкретные примеры.

Пример 1. Определить расширенную амплитудно-фазовую характеристику для звена, описываемого дифференциальным уравнением:

(2.117)

Допустим, что возмущающее воздействие изменяется по закону затухающих синусоидальных колебаний:

((2.118)

Тогда по истечении достаточного времени после начала возмущения выходная координата будет изменяться с теми же значениями ω и m, но с другой амплитудой и фазой:

(2.119)

Дифференцируя уравнение (2.119), определяем производную по времени выходной координаты:

(2.120)

Подставляя (2.119) и (2.120) в исходное уравнение, получим:

(2.121)

Отсюда определяем расширенную амплитудно-фазовую характеристику в показательной форме:

(2.122)

Если положить m =0, то получим как частный случай обычную амплитудно - фазовую характеристику

(2.123)

Проще определить расширенную амплитудно-фазовую характеристику по известной передаточной функции. Для этого достаточно в выражении передаточной функции заменить оператор р на (j-m)ω.

Пример 2. Передаточная функция объекта имеет вид:

(2.124)

Определим расширенную амплитудно-фазовую характеристику, для чего заменим р на (j-m)ω:

(2.125)

Освобождаясь от комплексного выражения в знаменателе, после преобразований получим:

(2.129)

На рисунке 2.23 приведены обычная и расширенная амплитудно-фазовые характеристики.

Рисунок 2.23 – Графики обычной и расширенной амплитудно-фазовых характеристик

Дата добавления: 2014-01-11