Розділ 2 коливання і хвилі

1

R

2 3

U. l

Dx

ЕРС індукції E i

й швидкістю зміни магнітного потоку x

F, тобто закон Фарадея

E i

= - d F. (17.1)

dt

Ecm

n x

X

Виконаємо це. Звернемо увагу при цьому на механізм виникнення явища електромагнітної індукції.

Розглянемо контур, який знаходиться в однорідному та постійному магнітному полі, індукція

Напрям обходу

dl

2 2¢

якого є перпендикулярною до площини контуру (див.

рис. 17.1). Нехай перемичка 1–2 рухається зі швидкістю u. З тією самою швидкістю переміщуються разом з перемичкою й носії струму – електрони. У результаті цього на кожний електрон із

зарядом e діє магнітна сила

Рисунок 17.1 – Перемичка 1–2

довжини l переміщується з сталою швидкістю u. Вибираємо напрям нормалі n так, щоб цей вектор був спрямований за креслення. Напрям

.

...

Fm = e [u´ B ], (17.2)

що спрямована уздовж перемички. Дія цієї сили є

(dl) обходу контуру вибираємо

так, щоб він утворював з n

правогвинтову систему

еквівалентною дії на електрон стороннього поля з напруженістю

....

Eст = Fm / e = [u´ B ].

Це поле неелектростатичного походження. Його циркуляція по контуру дає значення ЕРС, яка індукується у контурі:

.....

2...

E i = ò Eстdl

= ò[u´ B ] dl

= ò[u´ B ] dl

(17.3)

(підінтегральна функція відмінна від нуля лише на ділянці, яка утворена перемичкою 1–2).

...

Вектори u й B

взаємно перпендикулярні, а вектори

[u´ B ] й dl

спрямовані у

протилежні боки. Тому формула (17.3) спрощується:

dx d F

E = -òu Bdl = -u Bl = - Bl = -. (17.4)

i dt dt

Тут ми подали u у вигляді dx / dt, добуток Bldx являє собою збільшення магнітного потоку

d F через контур за час dt. У результаті отримуємо з (17.4) закон Фарадея (17.1).

Таким чином, у випадку, коли провідник рухається у постійному магнітному полі,

ЕРС індукції виникає за рахунок дії магнітної складової сили Лоренца.

2 Максвеллівське трактування закону електромагнітної індукції. Коли провідник рухається у постійному магнітному полі, індукційний струм викликається магнітною

...

складовою сили Лоренца Fm = e [u´ B ]. Яка ж сила збуджує індукційний струм у нерухомому

провіднику, що знаходиться у змінному магнітному полі? Відповідь була дана Максвеллом. Відповідно до трактування Максвелла будь-яке змінне магнітне поле збуджує у навколишньому просторі вихрове електричне поле. Останнє і є причиною виникнення індукційного струму в провіднику. Сила, з якою діє вихрове електричне поле з напруженістю

...

Eв на електричний заряд

Fв = qEв, має неелектростатичний характер, тобто вона є

сторонньою силою. Напруженість поля сторонніх сил в цьому випадку буде дорівнювати

...

напруженості вихрового електричного поля

Eст = Fв / q = Eв. Тоді ЕРС вихрового поля буде

дорівнювати

.

E i = ò Eстdl

.

= ò Eвdl. Підставляємо замість E i

отриманий вираз у закон

Фарадея (17.1) і приходимо до максвеллівського формулювання закону електромагнітної

індукції: будь-яка зміна магнітного поля у часі збуджує в навколишньому просторі вихрове

електричне поле

.

Eв; циркуляція вектора напруженості

.

Eв цього поля по будь-якому

нерухомому замкненому контуру G визначається виразом

..

ò Eв dl

G

= - ¶F

¶ t

, (17.5)

де F – магнітний потік, що пронизує контур G. Ми тут використали для позначення швидкості зміни магнітного потоку знак частинної, а не повної похідної. Цим ми хочемо підкреслити, що контур G повинен бути нерухомим.

Між максвеллівським та фарадеївським розумінням явища електромагнітної індукції є істотне розходження. Відповідно до формулювання Фарадея електромагнітна індукція

полягає у збудженні електричного струму. Для її спостереження необхідна наявність

замкненого провідника. Максвелл, навпроти, бачить сутність електромагнітної індукції насамперед у збудженні вихрового електричного поля, а не струму. Електромагнітна індукція може спостерігатися й тоді, коли в просторі взагалі немає ніяких провідників. Поява індукційного струму в замкненому провіднику при внесенні останнього в змінне магнітне поле є лише одним з проявів вихрового електричного поля, що виникає в результаті зміни поля магнітного. Але вихрове електричне поле може виконувати й інші дії, наприклад поляризувати діелектрик, викликати пробій конденсатора, прискорювати й гальмувати заряджені частинки і т.п. Експерименти повністю підтверджують гіпотезу Максвелла.

3 У загальному випадку, коли провідник рухається і магнітне поле змінюється,

...

індукційний струм збуджується як електричною силою

eE, так і магнітною силою

e [u´ B ].

Поєднуючи обидві сили, можна сказати, що у всіх випадках індукційний струм викликається повною силою Лоренца

....

F = e (E + [u´ B ]). (17.6)

Яка частина індукційного струму викликається електричною, а яка магнітною складовою сили Лоренца – це залежить від вибору системи відліку. Дійсно, чисто електричне поле (без магнітного) створюється системою нерухомих зарядів. Однак якщо заряди нерухомі відносно деякої інерціальної системи відліку, то відносно інших інерціальних систем ці заряди рухаються і, отже, створюють не тільки електричне, але й магнітне поле. Нерухомий провідник з постійним струмом створює постійне магнітне поле. Однак відносно інших інерціальних систем цей провідник рухається. Тому створюване ним магнітне поле в будь- якій точці буде змінюватися і, отже, породжувати вихрове електричне поле. Таким чином, поле, яке відносно деякої системи відліку є чисто електричним або чисто магнітним, відносно інших систем відліку являє собою сукупність електричного і магнітного полів, які утворюють єдине електромагнітне поле.

§ 18 Явище самоіндукції. Індуктивність. Індуктивність довгого соленоїда. ЕРС самоіндукції [5]

1 Електричний струм I, який проходить у будь-якому контурі, створює повний магнітний потік Y, що пронизує цей

контур (див. рис. 18.1). Зміна сили струму D I

буде

супроводжуватися зміною індукції магнітного поля

D B, а отже,

і зміною магнітного потоку DY. Внаслідок зміни магнітного потоку в контурі індукується ЕРС, яка, в свою чергу, впливає на зміну сили струму. Це явище називається самоіндукцією.

2 Відповідно до закону Біо-Савара-Лапласа індукція

магнітного поля пропорційна силі струму, яке створює це поле.

I

B

Рисунок 18.1

Звідси випливає, що струм I у контурі й повний магнітний потік Y, який створюється цим

струмом у тому самому контурі, пропорційні один одному:

Y = LI. (18.1)

Коефіцієнт пропорційності L між силою струму й повним магнітним потоком називається індуктивністю контуру.

Пропорційність потоку Y силі струму I має місце тільки в тому випадку, коли магнітна проникність m середовища, яким оточений контур, не залежить від напруженості

поля H, тобто за умови відсутності феромагнетиків. У протилежному разі m є складною

функцією від I, і залежність Y від I також буде складною оскільки

B = m0m H. Однак

формулу (18.1) поширюють і на цей випадок, вважаючи індуктивність L функцією від I. При незмінній силі струму повний потік може змінюватися також за рахунок зміни форми й розмірів контуру.

Таким чином, індуктивність залежить від геометрії контуру (тобто від його форми й розмірів), а також від магнітних властивостей (від m) середовища навколо контуру. Якщо

контур жорсткий і поблизу нього відсутні феромагнітні тіла, індуктивність є сталою величиною.

Одиницею індуктивності є генрі (Гн), що дорівнює індуктивності такого провідника, у якому при силі струму 1 А в ньому виникає зчеплений з ним повний магнітний потік 1 Вб

(1 Гн=1 Вб/(1 А)).

3 Визначимо індуктивність довгого соленоїда. Розглянемо соленоїд такої довжини, щоб його можна було вважати нескінченним. При проходженні через нього струму I

усередині соленоїда збуджується однорідне поле з індукцією

B = m0m nI

(див. відповідні

формули для магнітного поля нескінченного соленоїда). Потік через кожний з витків

дорівнює

F = BS, а повний магнітний потік, який зчеплений із соленоїдом:

Y = N F = nlBS = m m n 2 lSI, (18.2)

де l – довжина соленоїда; S – площа поперечного перерізу; n – число витків на одиницю довжини (добуток nl дає повне число витків N соленоїда).

Порівняння формул (18.1) і (18.2) дає для індуктивності дуже довгого соленоїда

вираз

L = m m n 2 lS = m m n 2 V

, (18.3)

де V = Sl

0 0

– об'єм соленоїда.

4 Зміни сили струму в контурі супроводжуються виникненням електрорушійної сили самоіндукції E s, що визначається формулою

d Y

E s = -

dt

= - d (LI)

dt

æ dI

-ç

= L

è dt

dL ö

+ I ÷. (18.4)

dt ø

Якщо при змінах сили струму індуктивність залишається сталою (що можливо тільки за умови відсутності феромагнетиків), вираз для ЕРС самоіндукції спрощується:

E = - L dI

s dt

. (18.5)

Знак мінус у цій формулі обумовлений правилом Ленца, відповідно до якого індукційний струм спрямований так, щоб протидіяти причині, яка його викликає. У цьому випадку

причиною, що викликає

E s, є зміна сили струму в електричному колі. Візьмемо за додатний

напрям обходу за годинниковою стрілкою. За цієї умови сила струму буде додатною, коли струм проходить в контурі за годинниковою стрілкою, і від’ємною, коли струм проходить

проти годинникової стрілки. Аналогічно E s

буде додатною, коли вона діє в напрямку за

годинниковою стрілкою, і від’ємною, коли вона діє в напрямку проти годинникової стрілки.

§ 19 Явище взаємної індукції. Взаємна індуктивність. ЕРС взаємної індукції [5]

1 Розглянемо два розміщені поруч контури 1 і 2 1 2

(рис. 1.19). Електричний струм силою

I 1, який проходить..

B

1

у контурі 1, створює у контурі 2 повний магнітний потік B 2

I 1 I 2

Y2= L 21 I 1. (19.1)

Поле, яке створює цей потік, зображено на рисунку

суцільними лініями. При змінах струму I 1

індукується ЕРС

в контурі 2

Рисунок 19.1

E i 2= - L 21 dI 1 / dt

(19.2)

(ми припускаємо, що контури не деформуються й феромагнетики поблизу них відсутні).

Аналогічно при проходженні у контурі 2 струму силою I 2

Y1= L 12 I 2

виникає у контурі 1 потік

(19.3)

(поле, яке створює цей потік, зображено штриховими лініями). При змінах струму контурі 1 індукується ЕРС

I 2 в

E i 1= - L 12 dI 2 / dt. (19.4)

Контури 1 і 2 називаються зв'язаними, а явище виникнення ЕРС в одному з контурів при змінах сили струму в іншому називається взаємною індукцією.

Коефіцієнти пропорційності

L 12

й L 21

називаються взаємною індуктивністю

контурів. З відповідного розрахунку можемо отримати, що за умови відсутності феромагнетиків ці коефіцієнти дорівнюють один одному:

L 12= L 21. (19.5)

Вони залежать від форми, розмірів і взаємного розміщення контурів, а також від магнітної проникності навколишнього середовища. Вимірюється взаємна індуктивність у тих самих одиницях, що й індуктивність, тобто в генрі (Гн).

§ 20 Енергія магнітного поля. Енергія соленоїда [5]

1 Розглянемо електричне коло, яке зображене на L

рис. 20.1. Коли ключ замкнено, то у соленоїді встановиться

струм I, який створює в його середині магнітне поле. Якщо B

розімкнути ключ, то в соленоїді виникне ЕРС індукції, і завдяки

її через опір R буде деякий час проходити, поступово R

зменшуючись, електричний струм. Робота, що виконана

струмом за час dt, дорівнює E

dA = E Idt = - d Y Idt = - Id Y.(20.1)

s dt

Ця робота йде на збільшення внутрішньої енергії опору R, обмотки соленоїда й з’єднувальних проводів (тобто на їх нагрівання). Виконання роботи супроводжується ослабленням магнітного поля. Оскільки ніяких інших змін у тілах, що оточують електричне коло, не відбувається, то приходимо до висновку, що магнітне поле є носієм енергії, за рахунок якої й

Рисунок 20.1 – Після роз- микання ключа через індуктивність і опір проходить струм, обумов- лений ЕРС самоіндукції. Цей струм нагріває елементи кола за рахунок енергії магнітного поля

відбувається робота (20.1). Таким чином, позначивши енергію пов’язаного з соленоїдом

магнітного поля через W, можна написати, що

dW = - dA = Id Y

(робота dA дорівнює зменшенню енергії, тобто (- dW).

(20.2)

Відомо, що напруженість поля в соленоїді довжини. Звідси отримуємо

H = nI, де n – число витків на одиницю

Пов’язаний з соленоїдом потік перерізу соленоїда. Отже

I = H / n. (20.3)

Y = NSB = nlSB, де l – довжина; S – площа поперечного

d Y = nlSdB. (20.4)

Підставивши у вираз (20.2) значення (20.3) і (20.4) для I й d Y, отримаємо співвідношення

dW = lSHdB = HdB × V, (20.5)

де V – об'єм соленоїда.

Відомо, що поле нескінченно довгого (практично – дуже довгого) соленоїда є однорідним й відмінним від нуля тільки всередині соленоїда. Тому енергія магнітного поля зосереджена всередині соленоїда й розподілена по його об'єму з сталою густиною w = W / V. З (20.5) випливає, що

dw = HdB. (20.6)

Ми отримали вираз для збільшення dw густини енергії магнітного поля, що відповідає збільшенню dB магнітної індукції. Щоб знайти повну густину енергії, потрібно проінтегрувати вираз (20.6) у межах від 0 до B:

B

w = ò HdB. (20.7)

Ми отримали формули (20.6) і (20.7), розглядаючи однорідне поле. Однак ці формули є правильними й для неоднорідного поля.

Замінивши H через

B /(m0m), отримаємо вираз

B BdB

w = ò m m. (20.8)

Проникність m у загальному випадку є функцією B (через зв’язок з H). У випадку, коли m

не залежить від H, проникність можна винести за знак інтеграла:

1 B B 2

w = m m ò BdB =

.

2m0m

Взявши до уваги, що трьома способами:

B = m0m H, вираз для густини енергії магнітного поля можна написати

w = m0m H

= HB = B

. (20.9)

2 2 2m0m

Підкреслимо, що ці формули є правильними тільки в тому випадку, коли m не залежить від H, тобто для діа- і парамагнетиків. Таким чином, отримали співвідношення (20.9), які визначають густину енергії магнітного поля. Щоб знайти повну енергію магнітного поля у

будь-якому просторі, потрібно провести інтегрування

у межах цього простору.

W = ò wdV

(20.10)

2 У випадку соленоїда магнітне поле є однорідним, і тому (20.10) спрощується:

W = w × V. (20.11)

Підставимо у (20.11) перший вираз з (20.9), у якому використаємо відомий зв’язок між

напруженістю магнітного поля в соленоїді та силою струму магнітного поля соленоїда можна записати у вигляді

H = nI. Тоді енергію W

W = 1 m m n 2 I 2 V = 1 LI 2. (20.12)

2 0 2

Тут використали, що індуктивність соленоїда дорівнює

L = m m n 2 V. Формула (20.12) є

правильною не тільки для соленоїда, але й для провідника будь-якої форми. Таким чином,

провідник з індуктивністю L, по якому проходить струм силою I, має енергію

LI 2

W =. (20.13)

§ 21 Струм під час замикання та розмикання електричного кола [5]

За правилом Ленца, струми, що виникають внаслідок самоіндукції, спрямовані так, щоб протидіяти змінам струму у колі. Це приводить до того, що встановлення струму при

замиканні кола й зменшення струму при розмиканні кола відбувається не миттєво, а поступово.

1 Знайдемо характер зміни струму при розмиканні кола.

Нехай у колі, що зображено на рис. 21.1, ключ K спочатку замикають. Тоді через індуктивність L буде проходити постійний струм силою

L, R ¢

I = E / R ¢

(опором джерела струму нехтуємо).

(21.1) 1 4

K E

При розмиканні ключа струм у колі 1-2-3-4 не може

зникнути миттєво тому, що в індуктивності виникає ЕРС самоіндукції, яка спрямована так, щоб протидіяти зменшенню

струму.

Якщо індуктивність постійна, то сила струму в колі після розмикання ключа буде задовольняти закон Ома для замкненого кола

Рисунок 21.1 – Коло скла- дається з котушки з індуктивністю L й опором R ¢і безіндук- тивним опором R. Напрями струмів у різних

ділянках кола до

I (R + R ¢) = E s

яке можна подати у вигляді

= - L dI,

dt

розмикання ключа K по- казані суцільними стріл- ками, після розмикання –

dI + R + R ¢ I = 0. (21.2)

dt L

штриховими

Це – лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку. Розділивши змінні, отримаємо рівняння

dI = - R + R ¢ dt,

I L

інтегрування якого приводить до виразу

ln I = - R + R ¢ t + ln(const)

L

(тут доцільно сталу інтегрування позначити через дає, що

ln(const)). Потенціювання цього виразу

ç

I = const × expæ-

è

R + R ¢ L

t ö. (21.3)

÷

ø

Функція (21.3) є загальним розв’язком I

диференціального рівняння (21.2). Значення константи

визначається з початкових умов. При

t = 0

сила струму в I 0

індуктивності має значення (21.1). Отже, const = I 0= E / R ¢. 2

Підставивши це значення в (21.3), прийдемо до формули

E æ R + R ¢ ö

t

I = expç -

R ¢ è

t ÷. (21.4) 0

L ø

Таким чином, після відключення джерела ЕРС сила струму в колі не стає миттєво нульовою, а зменшується за експоненціальним законом. Графік зменшення струму

Рисунок 21.2 – Графік зміни

струму при розмиканні (крива

1) і замиканні (крива 2) кола

наведено на рис. 21.2 (крива 1). Швидкість зменшення визначається величиною

t = L

R + R ¢

, (21.5)

що має розмірність часу, яку називають сталою часу кола. Замінивши в (21.4)

через 1/ t, отримаємо формулу

(R + R ¢) / L

I = E

R ¢

ç

expæ- è

t ö

t

÷. (21.6)

ø

Відповідно до цієї формули t є час, протягом якого сила струму зменшується в e разів. З (21.5) бачимо, що чим більша індуктивність кола й менший її опір, тим більша стала часу t й тим повільніше зменшується струм у колі.

2 Проаналізуємо отриманий результат. Згідно з (21.4) ЕРС самоіндукції після розмикання кола визначається виразом

У початковий момент

dI

E s = - L

dt

= E R + R ¢

R ¢

ç

expæ- è

R + R ¢ L

t ö.

÷

ø

E s» E

R + R ¢

R ¢

> E. (21.7)

З (21.7) випливає, що у випадку, коли

R >> R ¢, ЕРС самоіндукції значно перевищує

ЕРС E, що діяла в колі до його розмикання. Якщо розірвати просте (послідовне) коло, то місце розриву буде мати дуже великий опір R. Відповідно до (21.7) у колі виникне висока індукована напруга, що створює іскру або дугу в місці розриву.

3 Знайдемо характер зміни струму при замиканні кола.

Розглянемо коло, яке зображене на рис. 21.3. Після замикання ключа K доти, поки сила струму не досягне сталого значення

L, R ¢

I = E

0 R + R ¢

, (21.8) R

у колі, крім ЕРС E, буде діяти ЕРС самоіндукції. Таким чином, сила струму буде визначатись законом Ома для замкненого кола

I (R + R ¢) = E + E s = E - LdI / dt,

звідки

K E

Рисунок 21.3 – Коло, що складається з послідовно включе-

dI + R + R ¢ I =E

(21.9)

ної індуктивності

dt L L

(опором джерела ЕРС нехтуємо).

(L, R ¢), опору R й

джерела ЕРС E

Ми прийшли до лінійного неоднорідного диференціального рівняння першого

порядку, що відрізняється від рівняння (21.2) лише тим, що в правій частині замість нуля в ньому стоїть стала величина. З теорії диференціальних рівнянь відомо, що загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння можна отримати, додавши будь-яке його частинне розв’язання до загального розв’язку відповідного однорідного рівняння. Загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд (21.3). Легко переконатися безпосередньо підстановкою у тому, що вираз (21.8) є частинним розв’язком рівняння (21.9). Отже, загальним розв’язком рівняння (21.9) буде функція

E

æ R + R ¢ ö

I = + const × expç - t ÷

R + R ¢ è L ø

(21.10)

(рекомендуємо перевірити підстановкою, що функція (21.10) задовольняє рівняння (21.9).)

У початковий момент сила струму дорівнює нулю. Підстановка в (21.10)

приводить до значення константи, що дорівнює (- E /(R + R ¢)). Отже,

I = 0

і t = 0

E é

æ R + R ¢ öù

ê

I = 1-expç -

R + R ¢

L t ÷ú. (21.11)

ë è øû

З урахуванням (21.5) і (21.8) цій формулі можна надати вигляду

I = I 0 [1- exp(- t / t)]. (21.12)

Функції (21.11) і (21.12) описують зростання струму у колі після під’єднання до неї джерела ЕРС. Графік функції (21.12) наведено на рис. 21.2 (крива 2).

ТЕМА 4 РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА

§ 22 Вихрове електричне поле. Інтегральна й диференціальна форма закону електромагнітної індукції [5]

1 Як ми вже знаємо, Максвелл узагальнив закон електромагнітної індукції Фарадея. Сутність узагальнення полягає у введенні вихрового електричного поля, яке створюється змінним у часі магнітним полем. Закон електромагнітної індукції за Максвеллом має таке

формулювання: будь-яка зміна магнітного поля з часом збуджує в навколишньому просторі

.

вихрове електричне поле. Циркуляція вектора напруженості

нерухомому замкненому контуру G визначається виразом

Eв цього поля по будь-якому

..

ò Eв dl

G

= - ¶F, (22.1)

¶ t

де F – магнітний потік, що пронизує контур G. Ми тут використали для позначення швидкості зміни магнітного потоку знак частинної, а не повної похідної. Цим ми хочемо підкреслити, що контур G повинен бути нерухомим.

Таким чином, Максвелл припустив, що магнітне поле, яке змінюється з часом,

.

обумовлює появу у просторі вихрового електричного поля з напруженістю

.

Eв. Вихрове поле

.

Eв істотно відрізняється від електростатичного потенціального поля

Eп, яке

.

створюється нерухомими електричними зарядами. Як відомо, електростатичне поле Eп є

консервативним (потенціальним), його лінії напруженості починаються й закінчуються на

.

електричних зарядах. З умови консервативності поля Eп

випливає, що робота, яка

виконується цим полем над зарядом q при його переміщенні по будь-якій замкненій

траєкторії G, дорівнює нулю. Тобто

.

ò qEп dl

G

= 0, або ò. dl

Eп

G

= 0. (22.2)

Як бачимо, циркуляція потенціального електричного поля по довільному замкненому контуру G дорівнює нулю. Циркуляція ж вектора напруженості вихрового електричного

.

поля Eв

згідно з (22.1) відмінна від нуля. Отже, поле

.

.

Eв, як і магнітне поле, є вихровим. Лінії

напруженості поля Eв

замкнені або прямують до нескінченності.

..

Отже, електричне поле може бути як потенціальним (Eп), так і вихровим (Eв). У

.

загальному випадку електричне поле може складатися з потенціального поля

.

Eп, яке

створюється зарядами, і вихрового поля

з часом:

Eв, обумовленого магнітним полем, що змінюється

...

E = Eп + Eв. (22.3)

Циркуляція сумарного електричного поля з урахуванням (22.1) і (22.2) буде дорівнювати

......

.. ¶F

ò Edl

= ò Eп dl + ò Eв dl

= ò Eвdl = - ¶ t

. (22.4)

G G G G

..

Врахуємо визначення потоку магнітного поля F = ò BdS

S

й той факт, що у випадку нерухомої

поверхні інтегрування операції диференціювання за часом і інтегрування по поверхні можна

.

.

.

.

æ ö

ç ÷

поміняти місцями ¶F / ¶ t = ¶çò BdS ÷ / ¶ t = ò¶ B / ¶ t × dS. Тоді рівняння (22.4) набере вигляду

è S ø S

...

ò

ò Edl

= - ¶ B dS

¶ t

. (22.5)

G S

Підкреслимо, у співвідношенні (22.5) площа інтегрування S «надіта» на контур інтегрування G. Рівняння (22.5) виражає закон електромагнітної індукції в інтегральній формі, воно є одним з основних в електромагнітній теорії Максвелла. В основі цього рівняння лежить ідея про створення вихрового електричного поля змінним за часом магнітним полем.

2 Запишемо закон електромагнітної індукції в диференціальній формі.

.

Використовуючи теорему Стокса для векторного поля A

...

ò Adl

= ò rotA × dS, (22.6)

G S

нескладно перетворити рівняння (22.5), що виражає закон електромагнітної індукції в інтегральній формі, в рівняння, яке має диференціальну форму:

ò

.....

або

ò Edl

G

= ò rotE × dS = -

S

.

¶ BdS,

¶ t

S

rotE = - ¶ B. (22.7)

¶ t

Рівняння (22.7) виражає закон електромагнітної індукції в диференціальній формі, воно є одним з основних в електромагнітній теорії Максвелла.

§ 23 Струм зміщення Максвелла [5, 9]

1 З'ясуємо вигляд законів електромагнетизму, які є правильними у випадку змінних електромагнітних полів. Такі закони були встановлені Максвеллом. До рівнянь, запропонованих Максвеллом, можна прийти шляхом послідовного узагальнення дослідних фактів. Слід вирішити, які з отриманих раніше рівнянь можуть бути збережені, які повинні бути відкинуті і які потрібно доповнити. Є один керівний принцип, що дозволяє просунутися у цьому напрямку. Варто виключити з основних такі рівняння, в основі яких лежить уявлення про безпосередню дію на відстані. До них відносять закони Кулона, Біо-Савара- Лапласа та ін. Ці закони несумісні з експериментально підтвердженим уявленням про скінченну швидкість поширення взаємодій, а тому не можуть залишатися правильними у всіх випадках. Потрібно зберегти тільки такі рівняння, які не суперечать уявленням теорії поля. Відзначимо, що коли рівняння задовольняє вимоги теорії поля, то його можна подати як в інтегральному, так і диференціальному вигляді. Максвелл висунув гіпотезу, яка потім експериментально була підтверджена, що загальними законами електродинаміки (тобто справедливими й для постійних, і для змінних у часі полів) є такі закони:

▪ теорема Гаусса для електричного поля в діелектрику в інтегральному

..

і диференціальному вигляді

ò D × dS = q

S

(23.1)

.

divD = r; (23.2)

▪ теорема Гаусса для магнітного поля в інтегральному

..

і диференціальному вигляді

ò BdS = 0

S

(23.3)

.

divB = 0; (23.4)

▪ закон електромагнітної індукції в інтегральному

...

ò

ò Edl

= - ¶ B dS

¶ t

(23.5)

і диференціальному вигляді

G S

. ¶ B

rotE = -. (23.6)

¶ t

До основних рівнянь електродинаміки він також приєднав і закон збереження електричного заряду. У диференціальній формі він має вигляд рівняння неперервності електричного заряду

.

¶r+ div (j) = 0. (23.7)

¶ t

Тут r – густина електричного заряду в деякій точці простору, j – густина електричного струму в тій самій точці простору.

2 Теорему про циркуляцію магнітного поля у речовині в інтегральній формі

.

ò Hdl

= å Ik, (23.8)

G k

яка нами була отримана для стаціонарного випадку, можна перетворити до диференціального вигляду. Для цього використаємо теорему Стокса

...

ò Hdl

= ò rotH × dS, (23.9)

G S

а також те, що струми, які охоплюються контуром G, можна знайти як інтеграл від густини електричного струму по поверхні S, що обмежена контуром інтегрування G:

..

å Ik = ò jdS. (23.10)

k S

Тобто підставивши (23.9) та (23.10) в (23.8), отримаємо

......

S S I

Вираз (23.11) являє собою диференціальну форму теореми

(23.8).

3 З'ясуємо, чи є правильною теорема про циркуляцію магнітного поля в речовині (23.8), (23.11) для полів, які

змінюються з часом.

Для цього розглянемо магнітне поле, яке створюється струмом, що проходить при розрядці зарядженого конденсатора (рис. 23.1). Цей струм змінюється з часом. Лінії струму мають розрив у проміжку між обкладками

конденсатора. Застосуємо до цього випадку теорему про

.

циркуляцію магнітного поля (23.8). Циркуляція ò Hdl, що

S 2 I

S 1 I

G

Рисунок 23.1 – Процес розрядки конденсатора

стоїть у лівій частині рівняння (23.8), залежить тільки від форми й розміщення контуру G.

Вона є цілком визначеною величиною. З іншого боку сума струмів å Ik, що стоїть в правій

частині того самого рівняння, такої властивості не має. Покажемо це. Для визначення å Ik

потрібно подумки натягнути на контур G деяку поверхню інтегрування й знайти струм, який

пронизує цю поверхню. Виберемо поверхню інтегрування провідник зі струмом (див. рис. 23.1). У цьому випадку

S 1такою, щоб вона перетинала

å Ik = I. (23.12)

k

Якщо ж ми виберемо за поверхню інтегрування поверхню S 2, що проходить між обкладками конденсатора, яка не перетинає провідник зі струмом, то знайдемо, що

å Ik = 0. (23.13)

k

Отримана нами суперечність між (23.12) і (23.13) вказує на те, що у випадку змінних з часом полів рівняння (23.8), а отже, і (23.11) виявляються неправильними.

На несправедливості рівності (23.11) для випадку нестаціонарних полів указують

також такі міркування. Візьмемо дивергенцію від обох частин рівняння (23.11):

..

div (rotH) = divj.

Відомо, що дивергенція ротора завжди дорівнює нулю:

.

div (rotH) = 0. Звідси випливає, що

дивергенція вектора j також повинна завжди дорівнювати нулю: (divj = 0). Однак цей

висновок суперечить рівнянню (23.7), з якого випливає

divj = -¶r / ¶ t ¹ 0. Дійсно, при

нестаціонарних процесах густина заряду r може змінюватися з часом (це, зокрема, відбувається з густиною заряду на обкладках конденсатора при його розрядці). У цьому випадку згідно з (23.7) дивергенція j не дорівнює нулю.

4 Щоб рівняння (23.8) і (23.11) були правильними для змінних у часі полів, Максвелл увів у праву частину рівняння (23.11) ще один доданок. Природно, що цей доданок повинен мати розмірність густини струму. Максвелл назвав його густиною струму зміщення. Таким чином, відповідно до припущення Максвелла рівняння (23.11) повинне мати вигляд

...

rotH =

j + jзм. (23.14)

Суму струму провідності й струму зміщення називають повним струмом. Густина повного струму дорівнює

jповн = j + jзм. (23.15)

Якщо взяти дивергенцію від обох частин рівняння (23.14), то отримаємо

divj + divjзм = 0, (23.16)

.

де враховано, що div (rotH) = 0.

Замінивши в (23.16)

divj, згідно з (23.7) через

(-¶r / ¶ t)

отримаємо для дивергенції

густини струму зміщення вираз

d =

.

ivjзм

¶r. (23.17)

¶ t

Щоб зв'язати струм зміщення з величинами, що характеризують зміну електричного поля з часом, використаємо співвідношенням (23.2). Продиференціювавши співвідношення (23.2) за часом, отримаємо, що

.

¶ divD = ¶r.

¶ t ¶ t

Тепер змінимо в лівій частині порядок диференціювання за часом і за координатами. У результаті прийдемо до рівності

D

¶r æ ¶. ö

ç

.

÷

= div ç ÷

¶ t è ¶ t ø

Підставлення цього виразу у формулу (23.17) дає,

.

ç

.

÷

. æ ¶ D ö

Звідси

divjзм = div ç ÷ è¶ t ø

j

. = ¶ D. (23.18)

зм ¶ t

Таким чином, відповідно до (23.18) густина струму зміщення дорівнює похідній за часом від індукції електричного поля. Підставивши вираз (23.18) у формулу (23.14), прийдемо до рівняння

..

rotH = j + ¶ D. (23.19)

¶ t

яке є одним з основних у теорії Максвелла.

Підкреслимо, що термін «струм зміщення» є умовним. По суті, струм зміщення – це доданок, який пов’язаний з похідною від електричного поля за часом. Підставою для того, щоб назвати «струмом» величину (23.12), є лише те, що розмірність цієї величини збігається з розмірністю густини струму. Із всіх фізичних властивостей, які має струм провідності, струм зміщення має тільки одне – здатність створювати магнітне поле.

Введення струму зміщення «зрівняло в правах» електричне й магнітне поля. З явища

електромагнітної індукції випливає, що змінне у часі магнітне поле породжує електричне поле. З рівняння (23.19) випливає, що змінне у часі електричне поле, створює магнітне поле.

5 Проінтегрувавши по поверхні праву й ліву частини рівняння (23.19), використавши теорему Стокса нескладно перейти до інтегрального вигляду теореми (23.19) (порівняйте з

(23.8))

.. æ.

¶. ö.

÷

ò Hdl

= òç j +

D ÷ dS. (23.20)

ç

G S è

¶ t ø

§ 24 Система фундаментальних рівнянь Максвелла в інтегральній і диференціальній формі. Матеріальні рівняння [9]

1 Відкриття струму зміщення дозволило Максвеллу створити єдину теорію електричних і магнітних явищ. Ця теорія пояснила всі відомі на той час експериментальні факти й передбачила ряд нових явищ, існування яких підтвердилось з часом. Основним наслідком теорії Максвелла був висновок про існування електромагнітних хвиль, які поширюються зі швидкістю світла. Теоретичне дослідження властивостей цих хвиль привело Максвелла до створення електромагнітної теорії світла.

Основу теорії утворюють рівняння Максвелла. У вченні про електромагнетизм ці рівняння відіграють таку саму роль, як закони Ньютона в механіці або основні закони (принципи) у термодинаміці.

У систему фундаментальних рівнянь Максвелла входить чотири рівняння. В

інтегральній формі вони мають такий вигляд:

.. æ.

¶. ö.

÷

ò Hdl

= òç j +

D ÷ dS; (24.1)

ç

G S è

¶ t ø

...

ò

ò Edl

= - ¶ B dS; (24.2)

¶ t

G S

..

ò D × dS = q; (24.3)

S

..

Диференціальна форма цих рівнянь:

ò BdS = 0. (24.4)

S

..

rotH = j + ¶ D; (24.5)

¶ t

. ¶ B

rotE = -; (24.6)

¶ t

.

divD = r; (24.7)

.

divB = 0. (24.8)

Рівняння (24.1) та (24.5) – теорема про циркуляцію магнітного поля, яка була доповнена Максвеллом струмом зміщення. Фізична сутність цих рівнянь: електричні струми та змінне у часі електричне поле створюють магнітне поле.

Рівняння (24.2) та (24.6) – закон електромагнітної індукції. Фізична сутність цих рівнянь: змінне у часі магнітне поле створює вихрове електричне поле.

Рівняння (24.3) та (24.7) – теорема Гаусса для електричного поля у речовині. Фізична сутність цих рівнянь: електричні заряди є джерелами електричного поля.

Рівняння (24.4) та (24.8) – теорема Гаусса для магнітного поля. Фізична сутність цих рівнянь: магнітні заряди у природі відсутні.

До фундаментальних рівнянь не включено рівняння неперервності, яке виражає закон збереження електричного заряду, тому, що це рівняння є наслідком рівнянь (24.1) і (24.3)

(або (24.5) й (24.7)).

2 Фундаментальні рівняння Максвелла у формі (24.1)-(24.4) або (24.5)-(24.8) не утворюють ще повної системи рівнянь електромагнітного поля. Серед них два векторних

рівняння і два скалярних. Якщо їх записати у координатній формі, то отримаємо всього вісім

....

рівнянь, що пов'язують 16 величин: п'ятнадцять складових векторів E, D, B, H, j і скаляр

r. Ясно, що для 16 величин вісім рівнянь недостатньо. Фундаментальні рівняння Максвелла не містять ніяких сталих, що характеризують властивості середовища, у якій збуджено електромагнітне поле. Необхідно доповнити ці рівняння такими співвідношеннями, у які

входили б величини, що характеризують індивідуальні властивості середовища. Ці

співвідношення називають матеріальними рівняннями.

Найбільш прості матеріальні рівняння у випадку слабких електромагнітних полів, що порівняно повільно змінюються у просторі й часі. У цьому випадку для ізотропних неферомагнітних і несегнетоелектричних середовищ матеріальні рівняння можуть бути записані у такому вигляді:

...

...

D = e0e E,

B = m0m H,

j = s E, (24.9)

де e, m, s – сталі, що характеризують електромагнітні властивості середовища. Вони називаються діелектричною й магнітною проникністю й електричною провідністю середовища.

Сукупність фундаментальних і матеріальних рівнянь складають повну систему

рівнянь Максвелла. Ця система повністю описує електромагнітне поле. Вона дозволяє за відомими початковими і граничними умовами визначити електромагнітне поле й причому єдиним способом.

ТЕМА 5 КОЛИВАЛЬНІ ПРОЦЕСИ

§ 25 Гармонічні коливання та їх характеристики. Диференціальне рівняння гармонічних коливань. Зміна енергії при гармонічному коливанні [5]

1 Загальні відомості про коливання. Коливаннями називаються рухи або процеси, що так чи інакше повторюються у часі. Таку властивість мають, наприклад, рух маятника годинника, коливання струни або ніжок камертона, напруга між обкладками конденсатора в контурі радіоприймача й т.п.

Коливання часто зустрічаються в природі й техніці. Коливання можуть бути різної

природи, наприклад, механічними, електромагнітними і т.д.

Залежно від характеру впливу на коливальну систему розрізняють вільні (або власні) коливання, вимушені коливання, автоколивання й параметричні коливання.

Вільними, або власними називаються такі коливання, що відбуваються в системі,

яка надана сама собі, після виведення її з положення рівноваги. Прикладом можуть бути коливання кульки, яка підвішена на нитці (маятник). Для того щоб викликати коливання, можна або штовхнути кульку, або, відвівши убік, відпустити її.

Вимушеними називаються такі коливання, у процесі яких на коливальну систему діє

зовнішня періодична сила. Прикладом є коливання моста, які виникають при проходженні по ньому людей, що крокують у ногу.

Автоколивання, як і вимушені коливання, супроводжуються впливом на коливальну систему зовнішньої сили, однак моменти часу, коли здійснюються ці впливи, задаються

самою коливальною системою, тобто система сама керує зовнішнім впливом. Прикладом автоколивальної системи є годинник, у яких маятник отримує поштовхи за рахунок енергії

піднятої гирі або закрученої пружини. При цьому ці поштовхи відбуваються в моменти проходження маятника через середнє положення.

При параметричних коливаннях за рахунок зовнішнього впливу відбувається періодична зміна будь-якого параметра системи. Наприклад, періодично може змінюватися

довжина нитки, до якого підвішена кулька, що виконує

Дата добавления: 2014-01-11