Правило Лопиталя

Утверждение

Если

1) и непрерывные и дифференцируемые на функции; на (– конечное число, или );

2) ; ,

то , т.е. раскрывается неопределенность вида при (слева); предел отношения функции заменяется пределом отношения их производных.

Доказательство. Доопределим и . Возьмем
произвольное . Тогда на функции и непрерывны, на дифференцируемы. Применима теорема Коши: ; при имеем и поэтому – существует по условию.

Замечания. 1. В рассмотренном утверждении рассмотрен случай предельного перехода в конечной точке слева. Аналогично можно рассмотреть переходы: ; (произвольно); , ; при неопределенности вида .

Для неопределенности вида во всех случаях предельного перехода также действует правило Лопиталя.

Заметим, что правило Лопиталя применяется только к дробям.

Чтобы применить правило Лопиталя для неопределенностей
вида , , , и т.д., нужно предварительно выражение преобразовать к дроби.

Пример. Вычислить пределы , .

Дата добавления: 2014-01-13