Предел, непрерывность ФНП

Понятие предела функции многих переменных (сокр. ФНП)
вводится в предельной точке области определения функции.

Пусть – предельная точка множества , т.е. в каждой ее
окрестности находится хотя бы одна точка из , отличная от . Тогда , если выполняется соотношение

.

Это определение можно расшифровать для – конечное
число или , для – конечная точка или , расписывая
множества , , , .

При рассмотрении предела ФНП следует обратить внимание на условие . Здесь предполагается, что координаты точки стремятся к соответствующим координатам предельной
точки одновременно и независимо друг от друга. Если рассматривать поочередное стремление , при фиксированном значении всех остальных координат, то получим так называемые повторные пределы. Существование предела ФНП в точке (по совокупности переменных) не связано с существование
повторных пределов.

Пример. Доказать по определению .

Решение. Берем . Ищем так, чтобы

.

Верно соотношение

.

Выберем, например, . Тогда , , , т.е. по определению предела ФНП в точке имеем .

Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества. Свойства ФНП, непрерывной на ограниченном связном замкнутом множестве, формулируются аналогично соответствующим свойствам ФОП, непрерывной на замкнутом отрезке.

Понятие точки разрыва ФНП вводится как отрицание понятия "непрерывность в точке функции ".

Рассмотрим соответствующие утверждения, предполагая , , где – область; .

ТЕОРЕМА (о непрерывности дифференцируемой ФНП)

Если – дифференцируемая в точке ФНП, то она
непрерывна в точке .

Доказательство. По определению дифференцируемости ФНП в точке имеем , где , .

При , т.е. при , имеем , т.е. , что подтверждает непрерывность ФНП в точке .

Обратное утверждение неверно для ФНП, поскольку оно неверно для функции одной переменной.

Контрпример: , .

ТЕОРЕМА (о существовании всех частных производных ФНП)

Если – дифференцируемая в точке ФНП, то в этой точке существует частная производная функции по каждой координате, т.е.

.

Доказательство. По определению дифференцируемости ФНП в точке имеем , где , .

Пусть , т.е. изменяется только одна
координата, например , а все другие координаты не
изменяются. Тогда приращение вектора – аргумента становится
"частным" приращением и, соответственно, полное приращение функции превращается в частное приращение функции в точке , вызванное "частным" приращением вектора – аргумента,
и обозначается через

.

Используя представление для , получим или . Поскольку пределы слагаемых в правой части равенства существуют, то
существует .

Обратное утверждение неверно, т.е. существование частных производных ФНП в точке не гарантирует дифференцируемость ФНП в этой точке.

Контрпример. Пусть Тогда в точке не является непрерывной, а значит, и не является дифференцируемой.

Хотя при , т.е. – существует; анало

гично существует .

СЛЕДСТВИЕ. Для дифференцируемой в точке ФНП полное
приращение функции можно представить в виде

или

.

Здесь выражение называется полным
дифференциалом первого порядка ФНП в точке
соответственно .

ТЕОРЕМА (о достаточных условиях дифференцируемости ФНП в точке)

Если для ФНП существуют частные производные по всем ее аргументам в некоторой окрестности точки и они непрерывны в точке , то функция дифференцируема
в точке .

Дата добавления: 2014-01-13