Формула Тейлора. Пусть произвольная функция с хорошими свойствами рассматривается на какой-либо окрестности точки

Пусть произвольная функция с "хорошими" свойствами рассматривается на какой-либо окрестности точки . Найти многочлен заданной степени так, чтобы отклонение на было наименьшим.

Ищем в виде многочлена по степеням разности : .

Тогда естественно потребовать выполнение соотношений

при , т.е. ;

при , т.е.

;

при , т.е.

.

Аналогично и далее .

Определение(многочлена Тейлора).

Если для , существуют производные , , , то многочлен

называется многочленом Тейлора n – го порядка функции по степеням разности .

В этом случае говорят, что "функция "порождает" свой
многочлен Тейлора в точке ".

Покажем, что именно многочлен Тейлора функции задает наилучшее локальное приближение этой функции. Для этого оценим погрешность приближения , т.е. оценим на функцию .

1. – качественная характеристика погрешности (форма Пеано).

В самом деле, рассмотрим

(применим последовательно "" раз правило Лопиталя)

,

а это означает, что ,

т.е. – формула Тейлора ""-го порядка для функции по степеням разности с остаточным членом в форме Пеано.

2. , – между и –количественная характеристика погрешности (форма Лагранжа).

В самом деле, преобразуем отношение

(по теореме Коши: между и ; – параметр)

(по теореме Коши: между и ; – параметр)

(после ""-кратного применения теоремы Коши: между и , т.е. между и )

.

Итак, если функция раз дифференцируема в окрестности точки , причем – непрерывная функция в этой окрестности, то

,

где – некоторая точка между и , т.е. функция представима
по формуле Тейлора ""-го порядка по степеням разности с остаточным членом в форме Лагранжа.

При формулу Тейлора называют иногда формулой
Маклорена и записывают

.

Пример 1. Разложить функцию в окрестности точки , взяв .

Решение. Воспользуемся формулой Маклорена при . Найдем производные ; ;

; отсюда , , , . Получаем .

Пример 2. Убедиться самостоятельно в правильности разложений функции в окрестности по степеням :

, где лежит между и 0;

,

.

Дата добавления: 2014-01-13