Интерполяция и аппроксимация функций

При табличной форме задания функции часто возникает ситуация, когда аргумент функции задан с большей точностью, чем позволяет таблица. В этом случае приходится прибегнуть к интерполяции (или интерполированию) – приближенному нахождению неизвестных значений функций по известным ее значениям в заданных точках.

Наиболее простым является линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргумента. Если заданное значение лежит между приведенными в таблице значениями и , которым соответствуют значения функции и , то считают, что

Если по заданным значениям функции необходимо найти приближенное значение аргумента, то такая операция называется обратным интерполированием.

В общем виде интерполяционная задача состоит в построении обобщенного многочлена , принимающего значения исследуемой функции на конечном множестве (область задания функции). Указанный многочлен должен удовлетворять условиям . Точки называются узлами интерполирования.

В частности, если , а множество , искомый многочлен имеет линейную структуру и может быть представлен в виде , где – коэффициенты разложения, а – линейно независимые на функции.

Условия интерполирования можно представить в виде системы уравнений:

К системе можно применить векторно-матричную форму записи,

если ввести обозначения:

, ,

Если семейство функций составляет базис на , то условия интерполирования однозначно удовлетворяются с помощью выбора коэффициентов . Если число узлов интерполирования не соответствует размерности базиса, то решение задачи интерполирования неоднозначно. Возникающую при этом неопределенность можно устранить путем введения дополнительных условий, налагаемых на значения коэффициентов. В частности, в узлах интерполяции можно задать не только значения функции, но и значения ее производной. В противном случае, задача интерполирования не имеет решения в общем виде, т.к. система условий может оказаться несовместной. В этом случае задача интерполирования заменяется задачей общей аппроксимации, которая заключается в построении многочлена низшей степени, наименее отклоняющегося от заданной функции.

Дата добавления: 2014-01-13