Интерполяционный полином Лагранжа

Примером наипростейшей базисной системы функций можно считать систему , ,…, ,.

Утверждение 1. Если два многочлена степени принимают одинаковые значения при различных значениях переменной, то эти многочлены равны.

Пусть многочлены и степени ‑ такие попарно различные числа, что . Рассмотрим многочлен . Очевидно, что степень не превосходит либо ‑ нулевой многочлен, причем , т.е. многочлен имеет различных корней, что невозможно. Следовательно, и .

Это утверждение позволяет доказать следующую теорему.

Теорема. Для каждого натурального числа существует один и только один многочлен степени , который принимает любые наперед заданные значения при значениях неизвестной.

Пусть ‑ различные числа ‑ произвольные числа. Построим многочлен степени такой, что . По утверждению 1, он определен однозначно.

Степень , и, очевидно, . Многочлен (1) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа по заданной таблице значений

.

Дата добавления: 2014-01-13