Свойства математического ожидания. Свойство. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной

Свойство . Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной

.

­ Доказательство. Действительно, пусть случайная величина равна с вероятность . Тогда по определению математического ожидания:

.

Что и требовалось доказать.

Свойство . Постоянный множитель можно вносить за знак математического ожидания

, где .

Доказательство. Докажем для случайной величины , которая принимает конечное число значений . По определению математического ожидания:

.

Отсюда, вынося константу за знак суммы, получим:

.

Что и требовалось доказать.

Свойство . Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

.

Доказательство. Докажем для математического ожидания величины, составленной из суммы двух случайных величин и , причем случайная величина , принимает конечное число значений , а случайная величина , принимает конечное число значений . Тогда математическое ожидание суммы двух величин и равно:

.

Попробуем разобраться с первой двойной суммой

.

В ней от значения не зависит внутренняя сумма, поэтому вынесем за знак этой суммы:

.

Событие, состоящее в том, что примет значение (вероятность этого события равна ), влечёт за собой событие, которое состоит в том, что примет значения

или или ,

а вероятности этих несовместных событий равны соответственно:

или или .

Тогда вероятность первоначального события равна (по теореме о сложении вероятностей несовместных событий):

.

Поэтому первая двойная сумма равна:

.

Последнее же равенство следует из определения математического ожидания.

Со второй двойной суммой поступим аналогично, но прежде заметим, что она не изменится, если поменять порядок суммирования:

(Это известное свойство можно проверить, расписав его для случаев или ). А далее (вдоль по проторенной тропе):

.

Поэтому окончательно получаем:

.

Что и требовалось доказать.

Свойство . Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

Без доказательства (для заинтересовавшихся студентов это доказательство – повод повысить итоговую оценку).

Пример. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна . Найти число независимых выстрелов, обеспечивающее математическое ожидание равное попаданиям в мишень (например, при стрельбе по кораблю).

Решение. Пусть случайные величины - есть число попаданий в мишень при каждом из выстрелов. Тогда, согласно условию задачи, все эти случайные величины имеют один и тот же закон распределения

Математическое ожидание этих случайных величин равно

.

Математическое ожидание числа попаданий в мишень при выстрелах равно . По свойству (математического ожидания)

,

где последнее равенство записано в силу условия задачи. Отсюда

.

Дата добавления: 2014-01-14