Основные представления квантовой механики

Лекция 8

Квантовая механика – теория, устанавливающая способ описания законов движения микрочастиц, а также связь величин характеризующих частицы и системы, с физическими величинами, непосредственно измеряемыми на опыте.

К основным понятиям квантовой механики относится, принцип неопределенности.

Δр ּ Δх ≥ h∕2

где под неопределенностями Δр и Δх понимаются среднеквадратичные отклонения импульса р = mv и координаты от их средних значений.

Физическая интерпретация этого соотношения заключается в том, что не существует такого состояния, в котором координата и импульс частицы имеют одновременно точные значения.

Основу математического аппарата квантовой механики составляет утверждение, что состояние системы может быть описано определенной функцией координат Ψ(q), называемой волновой функцией системы. Волновая функция имеет вероятностный характер, квадрат модуля волновой функции дает значение вероятностей тех величин, от которых зависит волновая функция. | Ψ(x, y, z, t)|² есть вероятность нахождения частицы в момент времени t в точке пространства с координатами x, y, z. Совокупность вероятностей нахождения частицы в некоторой конечной области пространства называется плотностью вероятности.

Волновая функция должна удовлетворять условиям однозначности, конечности и непрерывности во всем пространстве переменных. Она должна быть, как минимум дважды дифференцируема. Кроме того, сумма вероятностей всех возможных значений координат системы должна, по определению, быть равной единице, т.е.

∫|Ψ|² dq = ∫ΨΨ^* dq =1

Здесь Ψ^*-функция, комплексно сопряженная с Ψ. Это равенство представляет собой условие нормировки.

Волновая функция дает максимально полное описание квантовой системы, т.е. значение Ψ позволяет вычислить набор динамических переменных. Это достигается некоторым действием на волновую функцию. Описание действия на волновую функцию требует введения понятия оператора – одного из важных понятий математического аппарата квантовой механики.

Оператор.

Оператор Â есть закон, по которому одной функции f ставится в соответствие другая функция g.

Âf = g

Свойства операторов.

1. Сумма и разность двух операторов Â и Ĉ:

(Â + Ĉ) f= Â f + Ĉ f

(Â − Ĉ) f= Â f − Ĉ f

2. Произведение операторов:

 Ĉ f= Â(Ĉ f)

3. Коммутатором называют оператор, составленный из двух операторов Â и Ĉ следующим образом:

Ŝ=[Â,Ĉ]≡ÂĈ − ĈÂ=0

4. Для операторов выполняется ассоциативный закон:

Â(ĈŜ)=(ÂĈ)Ŝ

5. Степень оператора Âⁿ представляет собой n последовательных приемов использования оператора Â, например ³ =   Âf.

6. Экспонента оператора e ^Â определяется рядом:

e ^Â=1+Â+²/2!+ Â^3/3!+…

7. Линейные операторы, удовлетворяют следующим правилам

Â(f + g)= Âf +Âg

Â(сf)= сÂf

Â(сf +d g)= сÂf +dÂg

с и d – коэффициенты.

Собственные функции и собственные значения.

Собственной функцией оператора Â является такая функция f, что при действии Â на нее получается снова функция f, умноженная на постоянное число

Âf = kf,

где k – называется собственным значением оператора Â. Если

ÂΨ=аΨ,

то ожидаемое значение физической величины < A > определяется как

< A > = ∫Ψ^*(q) Â Ψ(q) dq = ∫Ψ^*(q) а Ψ(q) dq = а ∫Ψ^*(q)Ψ(q) dq =

=а ∫|Ψ|² dq = а.

Самосопряженный или эрмитов оператор – оператор, для которого справедливо соотношение:

∫ f ^*Â g dq = ∫ g(Â^* f ^*) dq,

где Â^* получается из Â заменой знака перед мнимой частью. Эрмитовы операторы обладают замечательным свойством: их собственные значения всегда действительны.

Дата добавления: 2014-11-06