Шторм на Галилейском озере (фрагмент). Бостон, Isabella Stewart Gardner Museum 3 страница

Якоб не использует выражение «практическая достоверность» необдуманно. Оно покоится на его определении вероятности, поза­имствованном из одной ранней работы Лейбница. «Вероятность, — утверждает он, — это степень достоверности и отличается от абсо­лютной достоверности как часть отличается от целого»⁷.

Но Якоб идет дальше Лейбница в обсуждении того, что означа­ет понятие «достоверность». Наше индивидуальное суждение о до­стоверности — вот что привлекает внимание Якоба: условие прак­тической достоверности имеет место, если мы почти абсолютно убеждены в верности суждения. Когда Лейбниц вводил это поня­тие, он определил его как «бесконечную вероятность». Сам Якоб удовлетворяется вероятностью ¹⁰⁰⁰/юо1> ^{но он} хочет подстраховать­ся: «Было бы полезным, если бы должностные лица установили пределы практической достоверности»⁸.

Якоб торжествует. Отныне, утверждает он, мы можем делать предсказания о любых неопределенных величинах с той же степе­нью научной обоснованности, как и предсказания в случайных иг­рах. Он перевел вероятность из сферы теории в мир реальности:

Если вместо кувшина мы обратимся, например, к атмосфере или чело­веческому телу, в котором таится множество самых разных процессов или болезней, как камешков в кувшине, то на основе наблюдений мы сможем определить, насколько наступление одного события более ве­роятно, чем наступление другого⁹.

Однако, как оказалось, с кувшином у Якоба не обошлось без хлопот. Расчет, показавший необходимость 25550 испытаний для получения практической достоверности, должен был ужаснуть его неприемлемой величиной этого числа; в те времена население его род­ного города Базеля было меньше 25550 человек. Судя по тому, что именно на этом месте его книга обрывается, можно предположить, что он растерялся и не знал, как быть дальше. Приходилось делать вывод, что трудно найти в реальной жизни случаи, в которых все наблюдения удовлетворяли бы требованию независимости друг от друга:

Таким образом, если все события вечно повторяются, приходится при­знать, что всё в мире происходит по определенным причинам в соот­ветствии с определенными правилами, и мы вынуждены предположить относительно наиболее явно случайных вещей наличие некоей необхо­димости, или, иначе говоря, РОКА¹⁰.

Тем не менее его кувшин с камешками заслужил бессмертие. Эти камешки стали инструментом в первой попытке измерить неопреде­ленность — точнее, определить ее — и вычислить вероятность того, что эмпирически определенное значение случайной величины близ­ко к истинному, даже если истинное значение неизвестно.

Якоб Бернулли умер в 1705 году. Его племянник Николай — Ни­колай Медлительный — продолжил исследования дяди, связанные с определением вероятностей на основе наблюдений, одновременно медленно, но верно завершая подготовку к изданию «Ars Conjec-tandi». Его результаты были опубликованы в том же 1713 году, в ко­тором наконец вышла в свет книга Якоба.

Якоб для начала задает вероятность того, что отклонение на­блюдаемого значения от истинного окажется в некоем определен­ном интервале, а затем вычисляет число наблюдений, необходимое для получения именно этого заданного значения. Николай поставил перед собой обратную задачу. Считая число наблюдений заданным, он вычислял вероятность того, что отклонение наблюдаемого сред­него от истинного окажется в заданных пределах. Он использовал пример, в котором предполагал, что отношение числа рождающих­ся мальчиков к числу рождающихся девочек равно 18:17. Если общее число рождений составляет, скажем, 14000, ожидаемое число рождений мальчиков должно быть 7200. Затем он рассчитал, что с шансами по меньшей мере 43,58 к 1 действительное число родив­шихся мальчиков окажется в интервале 7200 + 163 и 7200 - 163, то есть между 7363 и 7037.

В 1718 году Николай предложил французскому математику Аб­рахаму де Муавру присоединиться к его исследованиям, но де Муавр отверг это предложение: «Я хотел бы оказаться способным... приме­нить теорию случайностей (Doctrine of Chances) к решению эконо­мических и политических задач, [но] с готовностью передаю мою часть работы в лучшие руки»¹¹. Из этого ответа де Муавра Николаю следует, что исследования по использованию вероятности и прогно­зированию быстро продвигались вперед.

Де Муавр родился в 1667 году — через 13 лет после Якоба Бер­нулли — в протестантской семье во Франции, в обстановке возрастающей враждебности ко всем некатоликам¹². В 1685 году, когда ему было 18 лет, король Людовик XIV отменил Нантский эдикт, провозглашенный в 1598 году родившимся в протестантской вере королем Генрихом IV и предоставивший протестантам, называемым гугенотами, равные политические права с католиками. После отме­ны эдикта исповедование реформатской религии было запрещено, дети гугенотов должны были воспитываться в католической вере, эмиграцию запретили. Де Муавр свыше двух лет провел в тюрьме за свои религиозные убеждения. Ненавидя Францию и все с нею свя­занное, он в 1688 году бежал в Лондон, где Славная революция как раз покончила с остатками государственного католицизма. На роди­ну он так и не вернулся.

В Англии де Муавр вел печальную и неустроенную жизнь. Не­смотря на все усилия, ему не удалось добиться приличной академи­ческой должности. Он зарабатывал на жизнь уроками математики и консультациями по применению теории вероятностей для игроков и страховых брокеров. С этой целью он держал неофициальную при­емную в кофейне Слайтера, что на улице Святого Мартина, где большей частью и проводил остаток дня по окончании занятий с учениками. Хотя он был другом Ньютона и стал членом Королев­ского общества уже в тридцать лет, он так и остался едким, ушед­шим в себя, асоциальным человеком. Умер он в 1754 году в бедности и слепоте в возрасте 87-ми лет.

В 1725 году де Муавр опубликовал работу, озаглавленную «По­жизненная рента» («Annuities upon Lives»), с анализом таблиц Галлея о продолжительности жизни и смертности в Бреслау. Хотя книга по­священа главным образом научным проблемам, в ней обсуждаются многие вопросы, относящиеся к головоломкам, которые пытались решить Бернулли и которые позднее де Муавр детально исследовал.

Историк статистики Стивен Стиглер (Stigler) приводит интересный пример, рассмотренный в работе де Муавра о ренте. Таблицы Галлея свидетельствовали, что в Бреслау из 346 человек пятидесятилетнего возраста только 142, то есть 41%, дожили до семидесяти лет. Это очень маленькая выборка. В какой мере можно использовать этот ре­зультат для выводов об ожидаемой продолжительности жизни пяти­десятилетних? Де Муавр не мог использовать эти числа для определе­ния вероятности того, что человек в возрасте пятидесяти лет имеет меньше 50% шансов дожить до семидесяти, но он мог бы ответить вот на какой вопрос: «Если в действительности шансы равны, какова ве­роятность того, что выборка покажет величину не более ¹⁴²/з4в?»

Первая прямо посвященная теории вероятностей работа де Му­авра озаглавлена «De Mensura Sortis» (буквально «Об измерении случайных величин»). Работа была впервые опубликована в 1711 го­ду в журнале Королевского общества «Philosophical Transactions». В 1718 году де Муавр предпринял значительно расширенное изда­ние этой работы на английском языке, озаглавленное «Теория слу­чайностей» («The Doctrine of Chances»), с посвящением своему близ­кому другу Исааку Ньютону. Книга имела огромный успех и вы­держала еще два издания в 1738-м и 1756 годах. Работа, видимо, произвела сильное впечатление на Ньютона, который при случае говорил своим студентам: «Обратитесь к мистеру де Муавру, он зна­ет эти вещи лучше меня». «De Mensura Sortis», по-видимому, пер­вая работа, в которой риск определен как шанс проигрыша: «Риск проиграть некую сумму обратен ожиданию выигрыша, и истинной мерой его является произведение поставленной на кон суммы на вероятность проигрыша».

В 1730 году де Муавр в конце концов обратился к предложен­ной Николаем Бернулли теме — насколько хорошо реальная вы­борка отображает свойства совокупности, на основе которой она построена. В 1733 году он опубликовал полное решение задачи и включил его во второе и третье издания «Теории случайностей». Он начинает с признания, что Якоб и Николай Бернулли «пока­зали очень большое искусство... Однако некоторые вещи нуждают­ся в дальнейшей разработке». В частности, подход обоих Бернулли «представляется настолько трудоемким и связан с такими сложно­стями, что до сих пор мало кто соглашался их преодолевать».

Действительно, необходимость проведения 25550 испытаний де­лала решение задачи практически неосуществимым. Даже если бы, как утверждал Джеймс Ньюмен, Якоб Бернулли в приведенном им примере был бы готов удовлетвориться «практической достоверно­стью», не большей, чем в пари с равными шансами, — вероятно­стью ⁵⁰/юо того, что результат будет с точностью до 2% равен ³/₂, — и то понадобилось бы 8400 испытаний. По нынешним стандартам требование Якобом вероятности ¹⁰⁰⁰/iooi курьезно само по себе. Се­годня большинство статистиков принимают несовпадение не более чем в 1 из 20 случаев как основание признания значимости (так сегодня называют практическую достоверность) результата с более чем достаточной степенью вероятности.

Достижения де Муавра в решении этой проблемы стоят в ряду наиболее важных математических открытий. Используя вычисле­ния и основные свойства треугольника Паскаля, составляющие со­держание биномиальной теоремы, де Муавр демонстрирует, как ряд случайных испытаний, подобных опытам Бернулли с кувши­ном, приводит к распределению результата вокруг среднего значения. К примеру, предположим, вы вытащили сто камешков подряд из кувшина Якоба, каждый раз возвращая камешек в кувшин и фиксируя отношение числа черных и белых камешков. Теперь пред­положим, вы выполнили серию таких опытов по сто испытаний в каждом. Де Муавр смог бы заранее приблизительно сказать вам, сколько из этих отношений будут близки к среднему отношению в суммарном числе испытаний и как эти отдельные отношения бу­дут распределены относительно этого среднего.

Распределение де Муавра ныне известно как нормальная, или, в соответствии с ее формой, колоколообразная кривая. Эта кривая показывает, что наибольшее число наблюдений группируется в цент­ре, вблизи среднего значения, вычисленного для суммарного числа наблюдений. Она симметрично спускается по обе стороны от сред­него значения, вблизи его круто, а затем все более полого. Другими словами, результаты наблюдений, далекие от среднего значения, менее вероятны, чем близкие к нему.

Форма кривой де Муавра позволила ему вычислить статистиче­скую меру ее дисперсии относительно среднего значения. Эта мера, известная как стандартное или среднее квадратичное отклонение*(В русской научной литературе чаще используется второй термин, известный также как среднее квадратическое. — Примеч. науч. редактора.), чрезвычайно важна для решения вопроса о том, включает ли в себя совокупность наблюдений достаточно репрезентативную для изучае­мой совокупности выборку. В нормальном распределении приблизи­тельно 68% результатов наблюдений оказываются в пределах одного среднего квадратичного отклонения от среднего значения и 98% — в пределах двух средних квадратичных отклонений.

Среднее квадратичное отклонение может сказать нам, не имеем ли мы дело со случаем «голова-в-духовке-ноги-в-холодильнике», когда любые рассуждения о среднем являются бессмысленными. Среднее квадратичное отклонение может также сказать нам, что 25 550 мани­пуляций с камешками Якоба позволяют весьма точно оценить со­отношение числа черных и белых камешков в кувшине, поскольку относительно малое число наблюдений будет сильно отличаться от среднего значения.

Де Муавр был поражен закономерностью, которая проявлялась с увеличением числа случайных и независимых наблюдений; он относил эту упорядоченность к предписаниям Всемогущего. Это приводит к мысли, что при правильно выбранных условиях изме­рения можно в самом деле преодолеть неопределенность и приру­чить риск. Используя курсив, чтобы подчеркнуть значение сказанного, де Муавр так подытожил свои исследования: «Случай порож­дает Отклонения от закономерности, однако бесконечно велики Шансы, что с течением Времени эти Отклонения окажутся пре­небрежимо ничтожными относительно повторяемости того По­рядка, который естественным образом является результатом БОЖЕСТВЕННОГО ПРЕДНАЧЕРТАНИЯ»¹³.

Вкладом де Муавра в математику был инструмент, который сделал возможной оценку вероятности того, что заданное число на­блюдений попадет в некоторую область вокруг истинного отноше­ния. Этот результат нашел широкое практическое применение.

Например, все производители опасаются того, что результатом сборки может оказаться бракованная продукция, которая дойдет до потребителей. Стопроцентное качество в большинстве случаев практически невозможно — наш мир, похоже, непоправимо враж­дебен совершенству.

Представьте себе директора булавочной фабрики, который ста­рается добиться, чтобы бракованные булавки встречались не ча­ще, чем в 10 случаях из 100000, то есть чтобы брак составлял не бо­лее 0,01% от объема производства¹⁴. Для контроля дел он проводит обследование произвольной выборки из 100 000 сошедших с кон­вейера булавок и выясняет, что у 12 нет головок — на 2 больше, чем он надеялся получить в среднем по всей производимой про­дукции. Насколько значима эта разница? Какова вероятность най­ти 12 бракованных булавок из выборки объемом в 100000, если средний процент брака составляет 10 бракованных булавок на каж­дый 1 000 000? Нормальное распределение и среднее квадратичное отклонение де Муавра дают ответ на этот вопрос.

Но обычно вопрос ставится по-иному. Чаще никто точно не зна­ет, сколько именно бракованных изделий в среднем выпускает фабрика. Вопреки благим намерениям действительная доля брака может оказаться в среднем выше, чем 10 из 100000. Что скажет выборка из 100000 булавок о вероятности того, что для всей вы­пускаемой продукции брак в среднем составляет 0,01%? Насколь­ко более точные сведения можно получить из выборки объемом в 200 000 булавок? Какова вероятность того, что процент брака окажется в пределах от 0,009% до 0,011%? А в пределах от 0,007% до 0,013%? Какова вероятность того, что одна наугад взятая бу­лавка окажется бракованной?

Здесь исходными данными являются 10 булавок, 12 булавок, 1 булавка, а вероятность оказывается искомой величиной. В такой постановке задача сводится к вычислению так называемой обрат­ной вероятности: какова вероятность того, что по всей произве­денной продукции брак составляет в среднем 0,01%, если в выбор­ке из 100000 булавок оказалось 12 бракованных?

Одно из наиболее эффективных решений этой задачи было пред­ложено пастором Томасом Байесом, который родился в 1701 году и жил в Кенте¹⁵. Байес был нонконформистом. Он отвергал большин­ство обрядов англиканской церкви, перенятых ею от католической после отделения от Рима во время правления Генриха VIII.

Хоть Байес и был членом Королевского общества, известно о нем немного. В одном довольно скучном и безликом учебнике статистики он характеризуется:сак «загадочная личность»¹⁸. При жизни он не издал ни одного сочинения по математике и оставил только две рабо­ты, которые были опубликованы после его смерти, но не смогли обра­тить на себя должного внимания.

Тем не менее одна из этих работ, «О решении проблемы в тео­рии случайностей» («Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances»), оказалась замечательно оригинальным про­изведением, которое обессмертило имя Байеса среди статистиков, экономистов и других представителей социальных наук. В нем за­ложены основы современных методов статистического анализа, на­чало работы над которыми было положено трудами Якоба Бер-нулли.

После смерти Байеса в 1761 году, согласно составленному за год до того завещанию, рукопись этой работы и сто фунтов стерлингов достались «Ричарду Прайсу, в настоящее время, как я полагаю, пастору в Ньюингтон-Грин»¹⁷. Любопытно, что у Байеса были столь неверные сведения о Прайсе, фигуре тогда намного более важной, чем простой священник в маленьком городке графства Кент.

Ричард Прайс был человеком высоких нравственных принци­пов, страстным поборником свободы вообще и свободы вероиспове­дания в частности. Он был убежден, что свобода дана человеку Бо­гом и поэтому является непременным условием нравственного по­ведения, и утверждал, что лучше быть свободным грешником, чем рабом. В 1780 году он написал книгу об американской революции с чрезвычайно длинным названием: «Соображения о значении американской революции и путях превращения ее во всемирное благо» («Observations on the Importance of the American Revolution and the Means of Making it a Benefit to the World»), в которой выразил свою веру в то, что революция была предначертана Богом. Рискуя собой, он заботился о перемещенных в Англию американских военноплен­ных. Он был другом Бенджамина Франклина и хорошо знал Адама Смита. Смит отсылал Франклину и Прайсу некоторые главы книги «О богатстве народов» («The Wealth of Nations») для чтения и кри­тических замечаний.

Одна разновидность свободы беспокоила Прайса: свобода заимст­вования. Он был глубоко озабочен величиной национального долга Британии, выросшего в результате войн с Францией и с колонис­тами Северной Америки. Он сетовал по поводу непрекращающего­ся накопления государственного долга и называл его «величайшим национальным злом»¹⁸.

Но Прайс был не просто священником и страстным поборником свободы. Он известен также как математик, который за работы в области теории вероятностей был принят в члены Королевского общества.

В 1765 году три человека из страховой компании, носящей на­звание «Общество справедливости» (Equitable Society), пригласили Прайса помочь им в составлении таблиц смертности, на основе ко­торых должны были определяться размеры сборов при страховании жизни и продаже пожизненной ренты. После изучения среди прочих трудов Галлея и де Муавра Прайс опубликовал по этому вопросу две статьи в «Philosophical Transactions»; его биограф Карл Кон со­общает, что голова Прайса поседела за одну ночь от напряжения при работе над второй из этих статей.

Прайс начал с изучения записей в лондонских регистрационных книгах, но математическое ожидание продолжительности жизни, получаемое на основе этих записей, оказалось значительно ниже имевшихся данных о смертности¹⁹. Тогда он обратился в графство Нортгемптон, где записи велись более аккуратно, чем в Лондоне. Он опубликовал результаты своих изысканий в 1771 году в книге, озаглавленной «Заметки о страховых выплатах» («Observations on Reversionary Payments»), которая оставалась катехизисом страхов­щиков до конца XIX столетия. Эта работа принесла ему славу осно­воположника страховой статистики как комплекса вероятностных методов, применяемых ныне всеми страховыми компаниями в ка­честве основы исчисления сборов и выплат.

Однако в работе Прайса были серьезные, весьма дорогостоящие ошибки, частично обусловленные погрешностями исходных данных, которые не охватывали большое число незарегистрированных рож­дений. Более того, он завысил коэффициенты смертности для ран­них возрастов и занизил их для старших, а его оценки величины миграции населения в Нортгемптон и из него оказались неточны­ми. Наиболее серьезные последствия имело занижение ожидаемой продолжительности жизни, что привело к значительному завыше­нию сборов при страховании жизни. «Общество справедливости» обогатилось на этой ошибке, а британское правительство, использо­вавшее те же таблицы для определения выплат покупателям по­жизненной ренты, понесло значительные убытки²⁰.

Через два года после смерти Байеса Прайс послал копию его «очень остроумной» работы некоему Джону Кантону, другому члену Королев­ского общества, с сопроводительным письмом, дающим представление о намерениях, с которыми Байес ее писал. Впоследствии в 1764 году Королевское общество опубликовало ее в «Philosophical Transactions», но и это не помешало новаторской работе Байеса прозябать в безвест­ности в течение двадцати лет.

Здесь приводится постановка Байесом задачи, которую он пытал­ся решить:

ЗАДАЧА

Дано: число случаев [в выборке], в которых некое событие наступи­ло, и число случаев, в которых оно не наступило.

Требуется определить: вероятность того, что вероятность на­ступления события в одном испытании [в генеральной совокупности] находится в некоем заданном интервале значений²¹.

Поставленная здесь задача в точности обратна задаче, постав­ленной Якобом Бернулли примерно шестьюдесятью годами ранее (с. 136). Байес задается вопросом, как определить вероятность того, что событие будет иметь место, при том что мы знаем только, что оно в определенном числе случаев наступило и в некоем другом числе случаев не наступило. Другими словами, булавка может оказаться бракованной или качественной. Если мы обнаружим десять брако­ванных булавок в выборке из ста, какова вероятность, что во всей совокупности булавок — не только в выборке из ста — процент бра­ка окажется в интервале между 9 и 11%?

Сопроводительное письмо Прайса Кантону показывает, как да­леко за одно столетие продвинулся анализ вероятности в практике принятия решений. «Каждый здравомыслящий человек, — пишет Прайс, — поймет, что поставленная здесь задача ни в коем случае не является простым упражнением в области теории случайностей, но требует решения в целях построения прочного основания для всех наших суждений относительно предыдущих событий и выяс­нения вероятности последующих»²². Он далее указывает, что ни Якоб Бернулли, ни де Муавр не поставили вопрос именно таким об­разом, хотя де Муавр и охарактеризовал трудности в получении своего собственного решения как «наибольшие из всех, какие мож­но ожидать в теории случайностей».

Для доказательства своей точки зрения Байес использовал не очень подходящий для диссидентствующего священника пример — бильярд. Запущенный по бильярдному столу шар где-то останавлива­ется и остается на месте. Затем другой шар многократно запускается таким же образом, и подсчитывается число случаев, когда он оста­навливается справа от первого. Это «число случаев, когда неопреде­ленное событие наступило», — успех. Неуспех — это число случаев, когда событие не наступило, то есть шар оказался слева от первого. Вероятность местонахождения первого шара — единичное испыта­ние — следует вывести из «успеха» или «неуспеха» второго²³.

Важнейшее применение подхода Байеса заключается в использо­вании новой информации для уточнения вероятности, основанной на старой информации, или, пользуясь языком статистики, сравнении апостериорной вероятности с априорной. В случае с бильярдными ша­рами положение первого шара представляет собой априорную, а мно­гократные оценки его местонахождения повторяющимися запусками второго шара — апостериорную вероятность.

Процедура пересмотра выводов относительно старой информа­ции по мере получения новой имеет источником философскую точ­ку зрения, делающую достижения Байеса чрезвычайно современ­ными: в динамичном мире в условиях неопределенности нет одно­значных ответов. Математик А. Ф. М. Смит (Smith) это очень хоро­шо сформулировал: «Каждая попытка научно обосновать ответы, возникающие в ситуации сложной неопределенности, является, на мой вкус, тоталитарной пародией на считающийся разумным про­цесс познания»²⁴.

Хотя из-за сложности байесовского подхода детальное рассмот­рение его здесь неуместно, пример типичного применения его при­веден в конце этой главы.

Важнейшей отличительной особенностью всех описанных в этой главе научных достижений является смелая мысль, что неопреде­ленность может быть измерена. Неопределенность означает, что значение вероятности неизвестно; перефразируя высказывание Ха-кинга об определенности, можно сказать, что нечто является нео­пределенным, если наша информация верна, а событие не проис­ходит или если наша информация неверна, а событие происходит.

Якоб Бернулли, Абрахам де Муавр и Томас Байес показали, как вычислять величину вероятности на основании эмпирических фак­тов. В этих достижениях впечатляют живость ума, проявленная в постановке вопросов, и смелость, с которой он дерзко атакует неиз­вестное. Де Муавр не скрывал восхищенного удивления перед соб­ственными результатами, когда сослался на БОЖЕСТВЕННОЕ ПРЕД­НАЧЕРТАНИЕ. Он любил такого рода выражения. В другом месте у него читаем: «Если бы мы не ослепляли себя метафизической пы­лью, то могли бы коротким и очевидным путем прийти к познанию великого СОЗДАТЕЛЯ и ВСЕДЕРЖИТЕЛЯ всего сущего»²⁸.

Мы уже основательно углубились в XVIII столетие, когда англи­чане считали познание высшей формой человеческой деятельности. Это действительно было время, когда ученые стряхнули со своих глаз метафизическую пыль. Не было больше препятствий для ис­следования непознанного и созидания нового. Огромные успехи в освоении природы риска, достигнутые до 1800 года, дали мощный толчок науке наступающего столетия, и в Викторианскую эпоху исследования в этом направлении получили дальнейшее развитие.

Приложение

Пример практического применения Байесова подхода к статистическим задачам

Обратимся вновь к булавочной компании. Компания имеет две фабрики, причем старая выпускает 40% продукции. Это озна­чает, что взятая наугад булавка, бракованная или нет, с веро­ятностью 40% выпущена на старой фабрике; это исходная ве­роятность. Известно, что на старой фабрике процент брака вдвое больше, чем на новой. Если клиент звонит и сообщает о купленной им бракованной булавке, на какую из двух фаб­рик должен звонить менеджер по сбыту?

Исходная вероятность побуждает утверждать, что, скорее всего, бракованная булавка сделана на новой фабрике, выпу­скающей 60% продукции компании. С другой стороны, час­тота появления брака на этой фабрике вдвое меньше, чем на старой. Пересмотрев исходную вероятность с учетом этой до­полнительной информации, получаем, что вероятность выпус­ка бракованной булавки новой фабрикой равна только 42,8%; это значит, что с вероятностью 57,2% виновата старая фабри­ка. Эта новая оценка становится апостериорной вероятностью.

Глава 8

Предельный закон хаоса

В 1855 году в Гёттингене в возрасте 78 лет скончался Карл Фридрих Гаусс. За последние 27 лет жизни он только од­нажды не ночевал дома и, надо думать, из неприязни к пу­тешествиям категорически отказывался от предложений самых из­вестных университетов Европы занять место профессора¹.

Подобно многим математикам до и после него, Гаусс уже в ран­нем детстве проявил гениальные способности, чем в равной степе­ни огорчил отца и обрадовал мать. Его отец был простым рабочим, презирал заумные увлечения своего гениального сына и всячески портил ему жизнь. Мать, напротив, как могла, старалась защитить своего мальчика и всемерно поощряла его увлечение математикой, за что Гаусс до конца дней вспоминал о ней с глубокой благодар­ностью.

Биографы, как обычно в таких случаях, сообщают всевозможные истории о математических головоломках, которые будущий великий математик решал в том возрасте, когда большинство детей с трудом делят 24 на 12. Он обладал феноменальной памятью и помнил всю логарифмическую таблицу назубок. В восемнадцать лет он сделал удивительное открытие, касающееся свойств семнадцатиугольника; такого в математике не случалось уже 2000 лет со времен древних греков. Его докторская диссертация на тему «Новое доказательство того, что каждая целая рациональная функция одной переменной может быть представлена произведением действительных чисел пер­вой и второй степени» посвящена решению основной теоремы ал­гебры. Сама теорема была известна и раньше, но он предложил со­вершенно новое доказательство.

Слава Гаусса была столь велика, что, когда в 1807 году фран­цузские войска подошли к Гёттингену, Наполеон приказал побе­речь город, в котором живет «величайший математик всех вре­мен»². Со стороны Наполеона это было очень любезно, но слава имеет и оборотную сторону. Когда победители наложили на Герма­нию контрибуцию, они потребовали с Гаусса 2000 франков. Это соответствовало примерно 5000 нынешних долларов — довольно крупная сумма для университетского профессора^1}. Друзья пред­лагали помощь, Гаусс отказывался; пока шли препирательства, выяснилось, что деньги уже уплачены знаменитым французским математиком Морисом Пьером де Лапласом (1749-1827). Лаплас объяснил свой поступок тем, что считает Гаусса, который был на 29 лет моложе его, «величайшим математиком в мире»³, т. е. оце­нил его чуть ниже, чем Наполеон. Позднее анонимный почитатель прислал Гауссу 1000 франков, чтобы помочь ему рассчитаться с Лапласом.

Соотношение франка и доллара в течение многих лет с удивительным постоянством держалось на уровне 5: 1. Таким образом, 2000 франков можно приравнять к 400 дол­ларам. В 1807 году покупательная способность доллара была в двенадцать раз выше, чем сегодня.

Сам Лаплас был весьма колоритной фигурой, о которой стоит сказать здесь несколько слов; подробнее мы поговорим о нем в гла­ве 12.

В детстве он, как и Гаусс, был математическим вундеркиндом, а впоследствии прославился своей космогонической теорией в аст­рономии. В течение многих лет его внимание привлекали некото­рые разделы теории вероятностей, которые исследовал Гаусс. Но на этом сходство кончается. Жизнь Лапласа протекала на фоне Фран­цузской революции, Наполеоновских войн и реставрации Бурбо­нов. Честолюбивому человеку нужно было обладать большой лов­костью, чтобы в этой кутерьме удержаться на поверхности. Лаплас оказался как раз таким человеком⁴.

Дата добавления: 2014-11-06