Вихідна інформація про часові параметри робіт, що використовуються для побудови графіка 2 страница

· по підсистемах керування і контролю – збільшення надійності і швидкодії керування, зниження рівня помилок контролю входів, процесу і виходу системи за рахунок впровадження нових методів і апаратури, вдосконалювання нормативної документації та ін.

3.Моделювання складних систем

В результаті проведення будь-якого часткового економічного аналізу (проектних варіантів, варіантів організації робіт і т.д.) потрібно заздалегідь знаходити оптимальні розв’язання більш дрібних часткових задач.

Економічний аналіз великої проблеми частинами вимагає наявності системи, що дозволяла б порівняти між собою всі отримані критерії часткової оптимізації та одержувати єдиний комплексний критерій окремої проблеми в цілому. Ця задача виняткової складності для умов дорожнього будівництва досі ще не отримала досить повного розв’язання.

При моделюванні складних систем і підсистем їх часто приходиться спрощувати, зберігаючи при цьому найістотніші риси.

Будівництво й експлуатація автомобільної дороги - досить складна система, причому підсистеми планування, управління, проведення робіт, матеріального і технічного забезпечення, що входять до її складу, в свою чергу, також досить складні. При розв’язанні навіть окремих задач в цих підсистемах виявляються необхідними їх спрощення, схематизації.

Таким чином, як при аналізі систем і підсистем, так і при розв’язанні часткових задач, що входять до них, доводиться йти обхідним шляхом, що наочно відбивається схемою, наведеною на рис. 8.4.

Реальна система

Розв’язок

Моделювання Корекція

результатів

Спрощена система

Експериментіз спрощеною системою

Рисунок 8.4 – Методологічна схема аналізу систем

Найважливішою попередньою умовою спрощення, а потім математичного опису (моделювання) систем, підсистем і окремих задач є їх якісний аналіз. З викладеного випливає, що фахівець в галузі вивчення дорожнього будівництва з позицій системного аналізу повинний мати широкий кругозір як інженер-шляховик і водночасно володіти сучасними економіко-математичними методами.

Питання для контролю знань

1. Які методи застосовуються для системного підходу в економічному аналізі?

2. Що розуміють під системою в теорії системного аналізу?

3. Основна мета системного аналізу.

4. Що відноситься до системних об'єктів?

5. Основні принципи системного підходу.

6. Методологічна схема аналізу систем.

Лекція №9 Застосування теорії імовірності в дорожнім виробництві

Мета лекції – вивчення основ теорії імовірності і застосування ії в дорожньому будівництві

Питання:

1. Основи теорії імовірності

2. Теорія імовірності в дорожньому будівництві

1. Основи теорії імовірності

Для того щоб прийняти правильне рішення щодо організації робіт, необхідно знати, в яких умовах це рішення буде реалізовано. Досвід показує, що виключити цілком вплив дестабілізуючих випадкових факторів на хід будівництва (експлуатації) неможливо. Тому важливо вміти кількісно оцінити ступінь випадкового впливу. Від цього буде залежати і вибір правильного рішення.

Випадкові фактори класифікують у такий спосіб:

1. Випадкові фактори технічного порядку: усілякі поломки машин, механізмів, транспортних засобів; вихід з ладу мереж енерго- і водопостачання, під'їзних доріг та інших комунікацій; низька якість матеріалів, деталей, конструкцій, обладнання, що не дозволяє застосувати їх за призначенням; зміна проектних рішень в процесі будівництва.

2. Випадкові фактори технологічного порядку: усунення браку, переробка неякісно виконаних робіт; зміна запланованої послідовності робіт внаслідок допущених порушень у технології; поява непередбачених робіт.

3. Випадкові фактори організаційного порядку: порушення зобов'язання з видачі проектної документації, постачання матеріалів, конструкцій, обладнання; зрив погоджених термінів робіт будь-якою організацією, що бере участь у будівництві; відсутність робітників необхідної спеціальності та кваліфікації.

4. Випадкові фактори кліматичного порядку: снігопад, завірюха, злива, ожеледиця.

5. Випадкові фактори соціального порядку: невихід працівника на виробництво; невиконання виробничого завдання при повному забезпеченні робіт.

Виявити частку впливу кожного з цих факторів при різноманітному їх поєднанні дуже важко, однак усі випадки їх впливу при поточному будівництві призводять до зміни темпу робіт окремих потоків і тривалостіїхроботи. Низка факторів, що діють протягом робочої зміни, викликає коливання змінного обсягу робіт. Інші фактори сприяють простої цілої зміни.

Прикладом випадкової події є продуктивність будь-якої машини, що виконує дорожні роботи. Внаслідок впливу багатьох факторів (погодних умов, технічного стану машини, кваліфікації та психологічного стану водія тощо) конкретна продуктивність у кожному випадку буде дещо різною і заздалегідь точно передбачити її неможливо. Однак на основі багаторазового повторення цієї роботи можна встановити частку тих випадків, коли, скажемо, виконуються і перевиконуються норми. Ця частка і буде характеризуватися ймовірністю виконання нормативів.

При цьому слід мати на увазі, що ця ймовірність характеризує масовий випадковий процес, дає можливість передбачити середній результат великого числа випробувань, однак наслідок кожного випробування залишається випадковим.

В теорії ймовірностей розрізняють події вірогідні, можливі та неможливі. Вірогідна подія в результаті досліду відбувається обов'язково. Наприклад, на виконання будь-якої дорожньої роботи буде витрачений робочий час, і це вірогідно. Вважають, що імовірність вірогідної події дорівнює одиниці. Неможливим називають подію, що в даному досліді не може відбутися. Вона протилежна достовірній. Неможливою буде така подія - виконання роботи без витрати часу.

Природно прийняти імовірність неможливої події рівною нулю. Можливі події будуть характеризуватися імовірністю, що більша нуля і менша одиниці. Таким чином, діапазон зміни імовірностей будь-яких подій – від нуля до одиниці.

Ймовірність події - чисельне вираження можливості ії настання.

У деяких найпростіших випадках ймовірності подій можуть бути легко визначені безпосередньо виходячи з умов випробувань.

Уявімо собі загальну схему таких випробувань.

Нехай випробування має n можливих несумісних результатів, тобто окремих подій, що можуть з'явитися в результаті даного випробування; причому при кожному повторенні випробування можливий один і тільки один з цих випадків. Крім того, нехай за умовами випробування, немає ніяких підстав припускати, що один з результатів з'являється частіше за інших, тобто всі результати є можливими.

Припустимо тепер, що при n можливих несумісних сходах інтерес представляє деяка подія А, яка появляється при кожному з m результатів і не з'являється при інших n-m випадків. Тоді прийнято говорити, що в даному випробуванні є n випадків, з яких m сприяють появі події А.

Ймовірність події А дорівнює відношенню числа випадків, які сприяють події А, до загальної кількості всіх несумісних результатів досвіду:

(9.1)

Формула (9.1) являє собою так зване класичне визначення ймовірності по Лапласу, яке прийшло з області азартних ігор, де теорія ймовірностей застосовувалася для визначення перспективи виграшу.

Статистичне визначення ймовірності.

Будемо фіксувати число випробувань, в результаті яких з'явилося деяка подія А. Нехай було проведено N випробувань, в результаті яких подія А з'явилося рівно n_N раз. Тоді число n_N називається частотою події, а відношення - частотою (відносної частотою) події.

Чудовим експериментальним фактом є те, що частота події при великому числі повторень випробування починає мало змінюватися і стабілізується близько деякого певного значення, у той час як при малому числі повторень вона приймає різні, абсолютно випадкові значення. Тому інтуїтивно зрозуміло, що якщо при необмеженій повторенні випробування частота події буде прагнути до цілком певного числовому значенню, то це значення можна прийняти і якості об'єктивної характеристики події А. Таке число Р (А), пов'язане з подією А, називається ймовірністю події А.

Математично необмежене число повторень випробування записується у вигляді межі (lim) при N, прагне до нескінченності ():

(9.2)

Оскільки n_N ніколи не може перевершити N, то ймовірність виявляється укладеної в інтервалі

Слід зазначити, що наведене визначення ймовірності є абстрактним, воно не може бути експериментально перевірено, так як на практиці можна реалізувати нескінченно велике число повторень випробування.

Нехай проводяться незалежні випробування, при кожному з яких ймовірність події А незмінна. Справедливо твердження, зване законом великих чисел або теоремою Бернуллі: якщо N досить велике, то з імовірністю як завгодно близькою до одиниці, відмінність від Р (А) менше будь-якого наперед заданого додатного числа або, в символьній записи, .

2. Теорія імовірності в дорожньому будівництві

В кожному випадку для отримання необхідних даних повинен бути складений план проведення спостережень за функціонуванням виробничої системи, що встановлює об'єкти спостереження, порядок проведення, обсяг спостережень для отримання оцінок показників із заданою точністю і вірогідністю.

Група показників, об'єднаних якою-небудь спільною властивістю, є статистичною сукупністю, тобто набором чисельних значень показника, отриманих у ході спостереження за об'єктом.

В математичній статистиці розрізняють поняття генеральної та вибіркової сукупності. Генеральна сукупність є нескінченний набір значень випадкової величини, що вивчається, розподіл ознак в якому збігається з теоретичним розподілом імовірностей.

Рис. 9.1. Закон нормального розподілу

Генеральна сукупність може мати, як скінчений так і нескінчений об’єм, звідки можемо бачити перший з витоків вибіркового дослідження, а саме – неможливість дослідити сукупність з нескінченною кількістю елементів, проте проблема дослідження вибіркової сукупності також може бути пов’язана з тим, що економічні та часові обмеження не дозволяють провести суцільне дослідження.

Тому для судження про генеральну сукупність користуються вибіркою або вибірковою сукупністю. Вибірковою сукупністю називається частина випадкових величин генеральної сукупності, відібраних з останньої для отримання відомостей про неї.

Вибіркова сукупність розглядається, як деякий емпіричний аналог генеральної сукупності. Сутність вибіркового методу полягає в тому, щоб за деякою частиною генеральної сукупності(за вибіркою) робити висновки про її властивості в цілому, наприклад, про її закон розподілу, або про числові значення її певних параметрів. Головним недоліком вибіркового методу є помилки досліду, які також називають помилками репрезентативності.

Щоб за даними вибірки мати можливість судити про генеральну сукупність, вона повинна бути взята випадково, це у певній мірі дозволяє знизити можливість помилок репрезентативності. Випадковість елементів у вибірці досягається шляхом слідування принципу рівної можливості всіх елементів генеральної сукупності бути відібраними у вибірку. Вибіркову сукупність називають репрезентативною, якщо вона досить добре відбиває основні характеристики генеральної сукупності.

Розрізняють наступні види вибірок:

– власне-випадкова вибірка, отримана випадковим відбором елементів без поділу їх на частини або групи;

– механічна вибірка, для якої елементи генеральної сукупності відбираються через деякий інтервал;

– типова вибірка, у яку випадковим чином вибираються елементи з типових груп, на які за деякою ознакою поділяється генеральна сукупність;

– серійна вибірка, у яку випадковим чином потрапляють не елементи груп, а власне групи, які потім суцільно досліджуються.

Основними параметрами дорожньо-будівельного процесу, з точки зору надійності його функціонування, є змінна продуктивність і тривалість цього процесу. Саме від цих основних показників залежить обсяг продукції, що випускається основною виробничою системою.

Ці показники є ймовірними через вплив на них випадкових факторів, тому вони повинні характеризуватися розподілом, що відбиває імовірності досягнення запроектованої величини цих показників. Для задач імовірного планування дуже важливо, щоб вибір статистичних функцій розподілу випадкових характеристик процесу був обґрунтований.

Розрізняють два способи можливого утворення вибірки:

– з повторенням, коли елемент після вивчення повертається назад до сукупності, що вивчається та може бути повторно вивчений;

– без повторення, коли елемент після вивчення назад до сукупності не повертається.

Можна виділити наступні три етапи обробки статистичних даних:

– етап спостережень, на якому ставиться мета статистичного дослідження та проводиться збирання статистичного матеріалу;

– етап зведення та групування отриманого статистичного матеріалу, представлення його у вигляді таблиць;

– відповідь на завдання мети дослідження, саме на цьому етапі застосовують великий арсенал методів математичної статистики.

Нині збір статистичних даних про функціонування виробничих систем досить ускладнений. Це пов'язано насамперед з відсутністю систематичних даних оперативного обліку ходу робіт. Крім того, оперативні дані не завжди характеризуються повнотою і точністю.

Враховуючи цю обставину, найбільш точні дані про функціонування виробництва можуть бути отримані на основі натурних спостережень за ходом робіт.

Статистичні дані випадкових величин використовують для оцінки надійності календарних графіків будівництва (експлуатації), побудованих за детермінованими даними, і для проектування організації будівництва та виконання робіт на об'єктах з урахуванням надійності реалізації і прийнятих рішень.

Питання для контролю знань:

1. Класифікація випадкових факторів.

2. Які події використовується в теорії ймовірностей.

3. Що таке частота події?

4. Характеристика генеральної сукупності.

5. Види вибірок.

6. Етапи обробки статистичних даних.

Лекція №10 Застосування методів лінійного програмування

Мета лекції – вивчення методів лінійного програмування і використання їх при рішенні транспортних задач

Питання:

1. Загальна постановка задачі математичного програмування (ЗМП).

2. Задача лінійного програмування як задача розподілу обмежених ресурсів.

3. Транспортна задача лінійного математичного програмування

1. Загальна постановка задачі математичного

програмування (ЗМП)

Вибір оптимальних рішень при вивченні реальних економічних процесів має ґрунтуватися на реальних операційних дослідженнях, а також побудові й розрахунку математичних моделей. Особливо це важливо, якщо досліджувана проблема досить складна й залежить від великої кількості чинників, що по різному впливають на її рішення. У цьому випадку використання математичних моделей дозволяє здійснити попередній вибір оптимальних або близьких до них варіантів рішень за визначеними критеріями. Загальна модель задачі математичного програмування має такий вигляд:

. (10.1)

У структурі моделі можна виділити 3 елементи:

1) Набір керованих змінних x₁, x₂,... x _n, значення яких підлягають оптимізації. Різні допустимі комбінації значень змінних відповідають можливим розв’язкам задачі.

2) Цільова функція z (x₁, x₂,... x _n) - функція, що виражає залежність прийнятого критерію оптимальності від керованих змінних.

Критерій оптимальності є мірою наближення розв’язку до поставленої мети. В економічних задачах, як правило, таким критерієм виступає показник ефективності функціонування системи (наприклад, прибуток від реалізації продукції, продуктивність праці, таке інше) або показник витрат. Слід зазначити, що одній меті можуть відповідати декілька критеріїв оптимальності (багатокритеріальна задача); в цьому разі цільова функція має враховувати всі виділені критерії.

3) Умови або обмеження g (x₁, x₂,... x _n), що накладаються на значення змінних або на співвідношення між ними.

Основними ознаками, за якими моделі математичного програмування поділяють на класи, є: характер функцій у складі моделі, тип змінних, врахування фактору часу та випадкових факторів

В залежності від характеру функцій, що входять до складу моделі, задачі МП можуть бути лінійними або нелінійними. Якщо цільова функція і функції всіх обмежень моделює лінійними, то дана задача являє собою задачу лінійного програмування (ЗЛП). В інших випадках, якщо хоча б одна функція в складі моделі є нелінійною, маємо справу із задачею нелінійного програмування (ЗНЛП). Зазначимо, що для ЗЛП розроблені універсальний і ціла низка часткових методів розв’язання. Навпаки, лише незначна частина ЗНЛП (а саме, задачі опуклого програмування) може бути ефективно розв’язанана частковими методами. Оскільки в даному курсі будуть розглядатись тільки лінійні оптимізаційні моделі, то має сенс представити загальний вид задачі лінійного програмування, а саме:

Z= C₁x₁, C₂x₂, … C_nx_n→ max (min). (10.2)

2. Задача лінійного програмування як задача розподілу обмежених ресурсів

Зауважимо, що задача ЛП у багатьох випадках виявляється асоційованою із задачею розподільчого типу, яка спрямована на пошук найбільш вигідного способу розподілу обмежених ресурсів за декількома видами виробничої діяльності. У сформульованій вище задачі представлено п видів виробничої діяльності, інтенсивності використання котрих (шукані величини) складають x₁, x₂, … x_n.

Сутність лінійного програмування полягає у визначенні екстремуму лінійної функції кінцевого числа додаткових аргументів, пов'язаних між собою системою лінійних обмежень.

Для здійснення усіх видів виробничої діяльності є в наявності т видів ресурсів, можливі обсяги споживання яких обмежені значеннями b₁, b₂, …, b_m. Витрати і-го ресурсу на одиницю продукції j-го виду виробництва дорівнюють a_ij. Тому сума ,яка являє собою загальний обсяг і-го ресурсу, що використовується n видами виробництва, не може перевищувати величини b_i.

Структура цільової функції z відбиває внесок кожного виду виробничої діяльності в загальний результат, У випадку максимізації величина C_j являє собою прибуток від j-го виду виробничої діяльності на одиницю відповідної продукції, а у випадку мінімізації C_j характеризує питомі витрати. Зауважимо, що «корисність» деякого виду виробничої діяльності не можна встановити тільки за значенням відповідного коефіцієнта цільової функції, оскільки обсяг споживання обмежених ресурсів також є важливим чинником. Оскільки усі види виробничої діяльності, подані в моделі, претендують на використання обмежених ресурсів, відносна корисність деякого виду виробництва (у порівнянні з іншими видами виробничої діяльності) залежить як від величини коефіцієнта цільової функції с_j, так і від інтенсивності споживання ресурсів a_ij. Тому можлива ситуація, коли через занадто великі витрати обмежених ресурсів деякий j-й вид виробничої діяльності, що характеризується високим прибутком, використовувати недоцільно (тобто в оптимальному розв’язку відповідна змінна виявиться небазисною).

Використання методів лінійного програмування для знаходження ефективного варіанту виробничого процесу пов'язано насамперед із правильним складанням виробничого процесу.

Існують два основних напрямки розв’язання задач лінійного програмування: універсальні та спеціальні методи. Універсальні методи: симплекс-метод, суть якого полягає в поступовому поліпшенні плану розв’язання задачі, що дозволяє з безлічі можливих варіантів вибрати найвигодніший за тими або іншими параметрами; метод розв’язувальних множників, що дозволяє розв’язати задачі шляхом пошуку оптимуму при поліпшенні початкового плану, що задовольняє цільовій функції та обмеженням.

До спеціальних методів належать: розподільний метод, метод потенціалів, метод диференціальних рент і графічний метод.

Формулювання задач лінійного програмування складається зі змістовної і математичної постановки задачі, а також інформаційного забезпечення.

Змістовна постановка задачі – це характеристика об'єкта або виробничого процесу.

Математична постановка задачі здійснюється в три етапи:

1) вибираються параметри, що досить повно описують суть виробництва (об'єкта);

2) визначається мета, що представляється у вигляді цільової функції, розв’язок якої необхідно знайти;

3) формально описуються можливі розв’язки за допомогою обмежень.

Інформаційне забезпечення задачі полягає в тому, що всім параметрам математичної моделі привласнюються конкретні значення.

Розглянемо особливості постановки задач лінійного програмування. Першою з цих особливостей є вираження цільової (економічної) функції, а також усіх обмежень задачі у формі лінійних залежностей (рівнянь або нерівностей).

Друга особливість полягає в тому, що число лінійних залежностей в задачі менше числа невідомих. Третьою особливістю є необхідна, звичайно, за змістом задач додатність змінних.

Загальна форма запису задач лінійного програмування з урахуванням вказаних їх особливостей така:

- цільова функція, що вимагає максимізації або мінімізації;

- обмеження в формі рівнянь або нерівностей. (10.3)

3. Транспортна задача лінійного математичного програмування

Транспортні задачі – це задачі вибору оптимального варіанта логістики товарів від пунктів виробництва до пунктів споживання з урахуванням усіх реальних можливостей.

Алгоритм транспортної задачі лінійного програмування отримав свою назву після його застосування для виконання завдання з визначення кращих маршрутів перевезення вантажів. У своєму класичному вигляді алгоритм транспортної задачі такий.

Ряд постачальників (і=1,2...,n) повинні перевезти вантажі (а_і) для певної кількості споживачів (j=1,2..., n_і), потреба у вантажі для кожного з них - величина b_j. Кожен постачальник має право перевезти свій вантаж або його частину якомусь постачальнику, що можна зобразити на рис. 10.1.

Рис. 10.1. Схематичне уявлення маршрутів перевезення вантажів.

Використання розрахунків транспортних задач, як правило, знижує транспортні витрати на 10–30 %. Зазвичай її математичну модель можна розглядати як модель розподільної задачі лінійного програмування.

Групи транспортних задач за постановкою:

1. Задачі мінімізації вартості перевезень товару від пунктів виробництва до пунктів споживання.

2. Задачі мінімізації довжини маршруту при перевезенні від одного постачальника до кількох споживачів.

3. Задачі мінімізації строків перевезення товару від пунктів виробництва до пунктів споживання та ін.

Припустимо, що т = 2, а п = 3. Складемо допоміжну таблицю для перемінних (табл. 10.1.)

Таблиця 10.1

Кар'єри, m	Об'єкти робіт, n
Вартість перевезення 1 м^3, грн.
1 (а1)	Х11	Х12	Х13
2 (а2)	Х21	Х22	Х23
	b1	b2	b3

Сукупність перевезень з кар'єру 1 повинна задовольняти рівнянню

. (10.4)

Для кар'єру 2 аналогічно отримаємо

. (10.5)

Ці умови ще недостатні для розв’язання задачі. На кожний об'єкт потрібно завезти матеріали в необхідній кількості, тому необхідно скласти наступні співвідношення:

(10.6)

Завдання буде називатись "закритим", коли зберігається умова:

Вантажі від постачальників до споживачів переводяться у будь-якій кількості (Х_ij)за певним маршрутом. Оскільки довжина маршрутів буде різною, то і вартість перевезення одиниці вантажу буде різною і становитиме величину С _ij Отже, за конкретним маршрутом, що пролягає від кожного і-того постачальника до кожного j- того споживача, може бути перевезена чи не перевезена частину вантажу. Ця умова має такий вигляд:

X_ij≥0

Вирішення задачі в тому, щоб визначити такі маршрути перевезення вантажів, які забезпечили б найменші витрати на перевезення всіх вантажів. Ця умова відображується такою цільовою функцією:

Розподілити перевезення потрібно так, щоб вартість всього обсягу перевезень була мінімальною, тобто

, (10.9)

де L - цільова функція.

Таким чином, цільова функція і всі обмеження виражені лінійними залежностями.

З залежностей видно, що число невідомих, що потрібно визначити дорівнює шести, тоді як число рівнянь, що зв'язують ці невідомі, дорівнює п'яти: нерівності та рівності. Крім того, значення невідомих повинні бути знайдені так, щоб мінімізувати лінійну функцію.

Обмеження, що мають форму нерівностей, можна перетворити в рівності, якщо ввести фіктивний об'єкт робіт, на який і повинне бути сплановане вивезення решти запасу матеріалів обох кар'єрів.

Так як фактично перевезень на фіктивний об'єкт не буде, їх вартісні характеристики З₁₄ і З₂₄ повинні бути прийняті рівними нулю. При цьому значення лінійної форми не зазнає будь-яких змін від введення фіктивної дільниці.

Тепер обмеження набувають вигляду:

,

.

Крім того, з'являється додаткова умова

Х₁₄+Х₂₄= b₄.

Завдяки додатковій умові (введення фіктивної ділянки 4) в принципі невизначена система рівнянь зводиться до визначеної.

В задачах лінійного програмування можуть зустрічатися три випадки:

1) система рівнянь не має невід’ємних розв’язків;

2) система має невід’ємні розв’язки, але екстремум лінійної форми, що виражає цільову функцію, дорівнює +¥ або -¥;

3) значення екстремуму лінійної форми на множині невід’ємних розв’язків системи скінчене.

Дата добавления: 2014-11-06