Где аргументом является время t

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

В курсе теоретической механики обычно изучаются движение точки и твердого тела. Соответственно кинематика делится на кинематику точки и кинематику твердого тела.

Механическое движение происходит в пространстве при изменении времени. Пространство в теоретической механике считается евклидовым, не зависящим от времени и движущихся в нем материальных тел. Время предполагается универсальным, т.е. одинаковым во всех системах отсчета и не зависящим от движения одной системы относительно другой

ВВЕДЕНИЕ

Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел (точки) без рассмотрения причин, вызывающих или изменяющих это движение. Такое изучение движения материальных тел не требует учета их масс и действующих на них сил.

Под механическим движением материальных тел понимают происходящее с течением времени изменение их относительного положения в пространстве или взаимного положения частей данного тела. Движение материального тела всегда следует рассматривать относительно какого-либо другого тела – тела отсчета. С телом отсчета скрепляют систему осей координат, например декартовых, принимая ее за систему отсчета, относительно которой рассматривается движение материального тела.

1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

В кинематике точки рассматриваются две задачи: 1) установление математических способов задания движения точки относительно выбранной системы отсчета; 2) определение по заданному закону движения точки всех кинематических характеристик этого движения (траектории точки, а также ее скорости и ускорения в любой момент времени).

Геометрическое место последовательных положений движущейся точки относительно рассматриваемой системы отсчета называется траекторией точки. Если траектория – прямая линия, то движение точки называется прямолинейным, если траектория – кривая линия, то к риволинейным.

Задать движение точки – это значит указать такой способ, при помощи которого можно определить положение точки в каждый момент времени относительно выбранной системы координат. Существуют три наиболее распространенных способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный. Векторный способ применяется главным образом при изучении теоретических вопросов, а координатный и естественный – при решении различных практических задач.

Векторный способ задания движения.

Пусть точка M движется относительно выбранной системы координат по траектории AB (рис.1). Построим вектор = , соединяющий начало координат О с движущейся точкой М. Этот векторназывается радиус-вектором точки М. Положение движущейся точки М относительно фиксированной точки О системы отсчета будет полностью определено, если в каждый момент времени будут известны модуль и направление ее радиус-вектора относительно точки О. Таким образом движение точки М задается векторной функцией

= (t), (1.1)

Это равенство называется векторным уравнением движения точки или законом движения точки в векторной форме.

Линия, образованная концами переменного вектора, начало которого находится в определенной точке пространства, называется годографом этого вектора. Следовательно, траектория точки М является годографом ее радиус- вектора .

Координатный способ задания движения.

Пусть точка О является началом прямоугольной декартовой системы координат Oxyz, и пусть , , – единичные векторы осей x,y, z соответственно (рис.2).

Тогда радиус-вектор точки М относительно начала отсчета – точки О может быть выражен через его проекции на оси x, y, z:

= r_x + r_y + r_z .

Но проекции радиус-вектора равны координатам точки М: r_x = x, r_y = y, r_z =z. Поэтому модуль и направление радиус-вектора

= x + y + z (1.2)

будут определены, если в каждый момент времени известны координаты точки М, т.е. если заданы три равенства

x = f₁(t), y = f₂(t), z = f₃(t). (1.3)

Эти уравнения полностью определяют в каждый момент времени положение точки относительно выбранной системы координат и называются уравнениями илизаконом движения точки в координатной форме.

Уравнения движения (1.3) есть также уравнения траектории точки в параметрической форме. Параметром является время t. Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, надо из них исключить параметр t.

Естественный способ задания движения.

Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех случаях, когда заранее известна траектория движущейся точки. Пусть точка М движется по траектории АВ (рис.3), заданной или ее уравнениями, или каким либо геометрическим способом. Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О, которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицательное направление отсчета, превратив тем самым траекторию в криволинейную ось s. Тогда положение точки М на траектории будет однозначно определяться криволинейной (натуральной) координатой

s, которая равна расстоянию от точки О до точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. Чтобы знать положение точки на траектории в любой момент времени надо знать зависимость

s = f(t). (1.4)

Уравнение (1.4) и выражает закон движения точки М вдоль траектории.

Таким образом, при естественном способе задаются:

1) траектория, 2) начало отсчета (точка О) криволинейной координаты s,

положительное и отрицательное направления отсчета (направление роста и убывания) криволинейной координаты s, 4) закон изменения криволинейной координаты s = f(t).

Криволинейную координату точки s не следует смешивать с длиной пути S, пройденного движущейся точкой за некоторый промежуток времени. Например, если точка, двигаясь из начала О, доходит до положения М₁ (рис.3), а затем, перемещаясь в обратном направлении, приходит в положение М, то в этот момент времени ее криволинейная координата s = OM, а пройденный за время движения путь S = OM₁ + M₁M, т. е. не равен s.

Дата добавления: 2014-11-06