Вопрос 2. Уравнение Шрёдингера

Построение строго математического аппарата квантовой механики невозможно без уравнения, которое позволило бы по заданным внешним силовым полям и начальным условиям описывать движение частицы в пространстве и во времени.

Поскольку состояние квантовой частицы задается волновой функцией (x,y,z,t), точнее величиной | (x,y,z,t) |², определяющей плотность вероятности нахождения частицы в момент времени t в точке с координатами (x,y,z), то искомое уравнение должно быть уравнением относительно функции . Это уравнение должно обладать некоторыми чертами, присущими волновому уравнению для упругих волн, поскольку оно призвано учитывать волновые свойства микрочастиц.

Уравнение, удовлетворяющее перечисленным требованиям, было найдено в 1926 г. австрийским физиком Шрёдингером и называется уравнением Шрёдингера:

− , (21.7)

где i = - мнимая единица; m -- масса частицы; ∆ − оператор Лапласа, который в декартовой системе имеет вид = , U(x,y,z,t) – потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле в точке с координатами (x,y,z) (Нобелевская премия по физике присуждена Шрёдингеру в 1933г.), тогда

.

Уравнение (21.7) было именно найдено, его невозможно вывести из прежних теорий. Справедливость этого уравнения установлена тем, что все вытекающие из него следствия подтверждены экспериментом. Если функция U не зависит явно от времени, т.е. U ≠ f(t), то она имеет смысл потенциальной энергии микрочастицы. Вид - функции для конкретной микрочастицы определяется именно потенциальной энергией U. В этом случае уравнение Шрёдингера несколько упрощается, так как его решение можно искать методом разделения переменных, т.е. - функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит только от координат, а другой − только от времени:

, (21.8)

где Е - полная энергия частицы. Подставим полученное выражение для

-функции в уравнение (21.7):

− .

После деления уравнения на множитель имеем:

.

Полученноесоотношение называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний. Поле стационарно, когда его характеристики не зависят от времени, например, для состояний с фиксированными значениями энергии. Это уравнение часто записывают в виде:

. (21.9)

В стационарных состояниях ни одна из квантовомеханических вероятностей не изменяется с течением времени. Средние значения всех физических величин также не зависят от времени. В частичности, постоянным во времени оказывается среднее значение координаты < x >. Стационарность состояние не исключает зависимость волновой функции от времени, а только ограничивает ее множителем . Состояние (21.9) стационарно, так как равен единице модуль множителя ,то есть

.

Поэтому плотность распределения координат частиц от времени не зависит. В стационарном состоянии плотность вероятности выражается только через функцию . Поэтому функцию также называется волновой функцией, хотя, строго говоря, она является только координатной частью всей волновой функции ( x,y,z ,t ) стационарного состояния.

Дата добавления: 2014-11-06