Случайные события. Основные определения

Человека окружает мир событий. Он часто замечает такой факт6 одни события при реализации данного комплекса условий непременно происходят, другие же могут произойти, а могут и не произойти. Рассмотрим группу таких событий:

Событие	Комплекс условий	Исход
А1	Нагревание проволоки	Её длина увеличилась
А2	Бросание игральной кости	Выпало 4 очка
А3	Бросание монеты	Выпал герб
А4	Низкая температура	Вода превратилась в лёд

Про события А₁ и А₄ мы вынуждены сказать, что они произойдут закономерно, а про события А₂ и А₃ – что они могли произойти, но могло бы быть иначе. Сравнение данных примеров позволяет ощутить случайность событий А₂ и А₃. Отсюда непосредственно следует определение понятия.

Определение 1. Случайным событием называется такой исход наблюдения или эксперимента, который при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти.

Определение 2. Событие называется невозможным, если в результате опыта оно никогда не произойдёт.

Определение 3. Событие называется достоверным, если в результате опыта оно происходит каждый раз.

Рассмотрим следующие события:

А – «два попадания при трёх выстрелах»;

В – «наугад выбранное трёхзначное число не превосходит 1000»;

С – «наугад выбранное трёхзначное число, составленное из цифр 1, 2, 3 без повторений, меньше 400»;

Д – «появление 20 очков (в сумме) при бросании трёх игральных костей»;

Е – «составление из цифр 1, 2, 3, 4 четырёхзначного числа, кратного пяти».

Ясно, что события В и С происходят в любом опыте, т.е. являются достоверными, а события Д и Е никогда не наблюдаются, т.е. являются невозможными. Событие А может произойти и не произойти – это случайное событие.

Определение 4. События А₁,А₂….Аn называются несовместными (в данном опыте), если появление любого из этих событий исключает появление любого другого из этих событий, и совместными – в противном случае.

Определение 5. Говорят, что события А₁, А₂,….Аn составляют полную группу событий в данном опыте, если в результате опыта хотя бы одно из этих событий обязательно произойдёт.

Ясно, что если события, составляющие полную группу, несовместны, то в результате опыта произойдёт ровно одно событие; если события, составляющие полную группу, совместны, то в результате опыта может произойти более чем одно событие.

Определение 6. События А₁, А₂,…..Аn называются равновозможными, если нет оснований полагать, что одно из событий имеет большую возможность появления, чем другие.

Определение 7. Два несовместных события в одном опыте называются противоположными, если они составляют полную группу событий.

Если одно из противоположных событий А, то другое событие обозначают Ā (не А).

Определение 8. Элементарными событиями в данном опыте называют несовместные равновозможные события, составляющие полную группу.

Рассмотрим примеры:

1. Пусть монета бросается один раз. В этом опыте возможны всего два события:

А₁ – «появляется герб»,

А₂ – «появляется решка».

Ясно, что события А₁, А₂ несовместны, равновозможны и составляют полную группу, т.е. А₁ и А₂ – элементарные события в данном опыте. В данном случае равновозможность можно объяснить симметрией и однородностью материала монеты. Далее Ā₁=А₂, Ā₂=А₁, т.е. А₁ и А₂ – противоположные события. В данном случае элементарных событий равно два: А₁ и А₂ (или А₁ и Ā₁ в других обозначениях).

2. Пусть бросается один раз игральная кость. В данном опыте рассмотрим следующие события:

Е1 – «выпадение 1», Е2 – «выпадение 2», Е3 – «выпадение 3»,

Е4 – «выпадение 4», Е5 – «выпадение 5», Е6 – выпадение 6».

Ясно, что события Е₁ - Е₆ являются несовместными, равновозможными, (в силу симметрии кости и однородности её материала) и составляют полную группу событий в данном опыте.

§2. Классическое определение вероятности

Определение 1. Элементарное событие Е называется благоприятствующим событию А, если при появлении события Е событие А также всегда появляется.

Вернёмся к предыдущему примеру – бросанию игральной кости и рассмотрим следующее случайное событие:

А – «выпадение чётного числа очков».

Выберем из всех элементарных событий Е₁-Е₆ события, благоприятствующие событию А. Ясно, что событие А появляется (наблюдается) при появлении любого из элементарных событий Е₂, Е₄, Е₆, они и будут благоприятствующими событию А.

Если мы рассмотрим другое случайное событие в данном опыте

В – «число очков более трёх»,

То ему благоприятствующими будут события Е₄, Е₅, Е₆.

Заметим, что для события Ā благоприятствующими будут события Е₁, Е₃, Е₅. Ясно, что здесь

Ā – «выпадение нечётного числа очков»,

Определение 2. (Классическое определение вероятности П. Лаплас, Франция, 1800г.). Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих появлению события А к числу n всех элементарных событий в данном опыте:

Р(А)=m/n.

Рассмотрим примеры:

1. Пусть А – выпадение чётного числа очков при бросании кости один раз. Тогда

Р(А)=3/6=1/2,

Р(Ā)=3/6=1/2.

Вероятность события показывает меру его вероятности: чем больше вероятность события, тем событие более вероятно (чаще наблюдается). В данном случае Р(А)=1/2 означает. Что примерно в половине случаев число очков при бросании игральной кости будет чётно (и примерно в половине случаев – нечётно).

2. Пусть бросается монета один раз и А – выпадение герба.

Найдём Р(А):

Р(А)=1/2

3. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Неграмотный мальчик перемешал буквы и потом наугад их собрал. Какова вероятность того, что опять получится слово «книга»?

Решение. Введём обозначение:

А – «собрано слово «книга».

В этом опыте элементарными событиями будут все возможные перестановки из пяти различных букв к, н, и, г, а. Таких перестановок будет

N=5!=120=5* 4*3*2*1

Только в одном из этих случаев будет составлено слово «книга».

Следовательно,

Р(А)=m/n=1/120.

Дата добавления: 2014-11-06