Основные определения математической статистики

Статистическое определение вероятности

Свойства вероятности

Докажем некоторые простейшие свойства вероятности события.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна 1.

Доказательство: Так как событие достоверно, то благоприятствующими ему будут все элементарные события, т.е. m=n и

Р(А)= m/n=n/n=1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Доказательство: Пусть А - невозможное событие, т.е. оно не происходит ни при каком элементарном событии, т.е. m=0.

Тогда: Р(А)=m/n=0/n=0.

Свойство 3. Если А- случайное событие, то 0<Р(А)<1.

Доказательство: Ясно, что если А – случайное событие, то при некоторых элементарных событиях оно появляется, а при остальных нет.

Таким образом, 0<m<n.

Разделим это двойное неравенство на n>0, получаем

0/n<m/n<n/n,

0<m/n<1.

Отсюда получаем 0<Р(А)<1.

Свойство 4. Если А и Ā – противоположные события, то

Р(А)=1-Р(Ā).

Доказательство: Если из n элементарных событий число элементарных событий, благоприятствующих событию А, равно m, то при других n-m

элементарных событиях событие А не появляется, т.е. появляется событие Ā. Таким образом, Р(Ā)= (n-m)/n, Р(А)= m/n,

Р(А)+Р(Ā) = m/n+(n-m)/n=(m+n-m)/n=n/n=1.

Отсюда получаем, Р(А)=1-Р(Ā).

Заметим, что аналогично Р(Ā)=1-Р(А).

В некоторых случаях классическое определение вероятности не может быть применимо, так как невозможно указать элементарные события. Обычно это происходит по причине того, что условие равновозможности не выполняется.

Примеры таких опытов: наблюдение за погодой; проверка ОТК изделий на годность; поступление в ВУЗ; оценка, полученная на экзамене и т.д. В таких случаях применяют статистическое определение вероятности.

Определение 1. Относительной частотой события А называют отношение числа m опытов, когда событие А появилось, к общему числу n всех опытов. За вероятность события А можно принимать относительную частоту

Р(А)=W(А)=m/n

Заметим, что 0≤W(А)≤1.

Далее, очевидно выполнение следующих свойств:

1. W(А)=0, если А- невозможное событие.

2. W(А)=1, если А- достоверное событие.

3. W(А)=1- W(Ā).

Пример. Станок-автомат выпускает детали. Из 100 деталей 10 деталей оказались бракованными. Найти вероятность того, что случайно выбранная выпущенная станком деталь является бракованной.

Решение. Используем статистическое определение вероятности:

P(A)» W(A) = = = 0,1.

Определение 1. Генеральной совокупностью называется совокупность всех изучаемых объектов. Обычно генеральная совокупность – очень большое множество. Примеры генеральных совокупностей: жители России, студенты, школьники и дети пятилетнего возраста г. Твери и т.д. Для того чтобы изучить генеральную совокупность, отбирают некоторую ее часть, т.е. делают выборку.

Определение 2. Выборочной совокупностью (или выборкой) называется совокупность объектов, отобранных из генеральной совокупности.

Определение 3. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов в ней.

Объем генеральной совокупности будем обозначать буквой N, выборки – n. Ясно, что всегда N много больше чем n:

N >> n.

Обычно N >> 1000, 10 ≤ n ≤ 1000.

Дата добавления: 2014-11-06