Невизначений і визначений інтеграли

В цьому розділі висвітлюється друге основне поняття математичного аналізу – поняття інтеграла. В історії розвитку математики до поняття інтеграла привела задача обчислення границь сум нескінченно малих величин, коли число доданків необмежено зростає. В зв’язку з трудностями обчислень, що виникли при цьому, необхідно було знайти єдиний метод визначення границь таких сум. Пізніше поняття інтеграла розвивалось і вдосконалювалось як інструмент пізнання оточуючого світу.

Як визначити площу плоскої фігури довільної форми, величину роботи, що здійснюється змінною силою, кількість речовини, що вступає в реакцію, об’єм тіла, втрату теплоти при охолодженні тіла? Ці і багато інших задач можна розв’язувати за допомогою інтеграла.

Розділ 6. Невизначений інтеграл.

6.1. Первісна та її властивості.

6.2. Невизначений інтеграл і його властивості.

6.3. Основні правила застосування.

6.4. Таблиця основних інтегралів.

6.5. Поняття інтегралів, що не виражаються елементарними функціями.

6.6. Основні методи інтегрування.

6.6.1. Метод безпосереднього інтегрування.

6.6.2. Метод підстановки (заміни змінної).

6.6.3. Метод інтегрування частинами.

6.6.4. Інтегрування раціональних дробів.

6.6.5. Інтегрування виразів, що містять ірраціональності.

6.6.6. Інтегрування деяких тригонометричних виразів.

6.6.7. Раціональна функція від .

Із елементарної математики відомо взаємно обернені дії: додавання та віднімання, множення та ділення, піднесення до степеня та добування кореня, логарифмування та потенціювання. Іншою парою взаємно обернених математичних операцій є диференціювання та інтегрування.

В попередній темі було розглянуто основи диференціального числення функцій однієї змінної. Диференціюванням функції, як відомо, називають процес знаходження похідної або диференціала заданої функції .

Обернений процес – знаходження функції за заданою похідною або заданим диференціалом - називають інтегруванням функції , а знайдену функцію називають первісною.

Частину математики, що вивчає цей процес та його застосування, називають інтегральним численням функції однієї змінної.

Розглянемо приклади задач, що приводять до необхідності інтегрування функції.

Якщо функція вказує закон зміни відстані з часом нерівномірного руху, то миттєва швидкість цього руху знаходиться диференціюванням функції .

Але іноді трапляється так, що швидкість нерівномірного руху відома як функція часу і треба знайти закон зміни відстані з часом . У цьому випадку задана і треба визначити , тобто виконати операцію, обернену диференціюванню.

Інший приклад, якщо нам відома маргінальна функція витрат і треба знайти функцію продуктивних витрат виробництва одиниць продукції.

Дата добавления: 2014-11-06