Інтегрування раціональних дробів

Означення: Дріб називається раціональним, якщо його чисельник і знаменник є многочлени, тобто дріб має вигляд , де і - коефіцієнти многочленів, .

Раціональний дріб називається правильним, якщо , і неправильним, якщо . Якщо дріб неправильний, тоді потрібно поділити чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів) і одержати заданий дріб у вигляді суми многочлена та правильного дробу, тобто .

Означення: Найпростішими раціональними дробами називають правильні дроби вигляду:

1)

2)

3)

4)

Умова означає, що квадратний тричлен не має дійсних коренів і на множники не розкладається. Аналогічно з , де .

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів на прикладах.

Перші два типи інтегралів знаходять методом безпосереднього інтегрування:

1) .

2)

При інтегруванні найпростішого дробу 3-го типу спочатку потрібно виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через одну змінну.

3)

Знаючи формулу , даний інтеграл можна знаходити:

.

4) Інтеграл від найпростішого дробу 4-го типу шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла від найпростішого дробу 3-го типу.

У повному курсі вищої алгебри доведена слідуючи теорема.

Теорема: Будь-який неправильний раціональний дріб розкладається на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.

Отже, інтегрування раціонального дробу зводиться до інтегрування многочлена (при ) та суми найпростіших дробів, що визначаються коренями знаменника .

Можливі наступні випадки:

1) Корені знаменника дійсні і різні, тобто . В цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го типу:

, з цієї тотожності знаходять невизначені коефіцієнти .

2) Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, тобто . Тоді дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го і 2-го типу , з цієї тотожності визначаються коефіцієнти .

3) Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, крім того знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники, тобто . В цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го, 2-го, 3-го типів ; з цієї тотожності знаходять коефіцієнти та .

Приклад: Знайти

Розв’язування: Підінтегральна функція – це правильний раціональний дріб, знаменник якого містить квадратний двочлен, який не розкладається на множники та один дійсний корінь , тому цей дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го та 3-го типу:

Невідомі коефіцієнти будемо шукати методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності треба привести до спільного знаменника, одержимо:

Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні бути рівні; , ця рівність можлива лише тоді, коли коефіцієнти при однаковому степені в обох частинах рівності однакові, тобто:

Отже, розклад прийме вигляд:

Інтегруючи цю рівність, одержимо:

Дата добавления: 2014-11-06