Элементарные преобразования матриц

Ступенчатые матрицы.

Определение1. Ступенчатой матрицей будем называть матрицу, удовлетворяющую следующим двум условиям:

1) все нулевые строки находятся ниже всех ненулевых;

2) у каждой ненулевой строки, кроме первой, число нулевых элементов, предшествующих первому ненулевому, больше, чем у предыдущей строки.

Например, ступенчатыми являются матрицы

Частным случаем ступенчатой матрицы является треугольная матрица вида

Теорема1. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Определение 1. Под элементарными преобразованиями матрицы понимаем:

1) перестановку строк;

2) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

3) сложение строк;

4) те же операции со столбцами.

Определение 2. Матрицы, полученные одна из другой элементарными преобразованиями, называются эквивалентными.

Эквивалентность матриц обозначается символом ~: ~ ( эквивалентна )

Теорема 1. Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.

Теорема 2. С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к ступенчатому виду.

Дата добавления: 2014-11-06