Существование и нахождение обратной матрицы

Обратимые матрицы

Определение 1. Квадратная матрица называется обратимой, если существует квадратная матрица такая, что

(1)

Каждая матрица , удовлетворяющая (1), называется матрицей, обратной к , или обращением матрицы .

Предложение1. У каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.

Обращение матрицы , если оно существует, обозначается через .

Предложение 2. .

Предложении 3. Пусть квадратные матрицы и обратимы и имеют один порядок. Тогда их произведение также обратимо и при этом

Предложение 4. Если матрица обратима, то транспонированная матрица также обратима, и при этом

Определение1. Матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной в противном случае.

Теорема 1. Для того чтобы матрица была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной. При этом обратная матрица находится по формуле

, где .

Матрица называется присоединенной.

Пример1. Пусть . Так как , матрица имеет обратную. Найдем ее.

, , , ;

, ;

.

Дата добавления: 2014-11-06