Понятие интегральной суммы, предела интегральных сумм, интеграла Римана

Интегралы, невыражающиеся в элементарных функциях.

Если интеграл не выражается в элементарных функциях, то говорят, что ин-

теграл «неберущийся». Неберущимися интегралами являются:

- интеграл Пуассона;

- интегральный логарифм;

-интегральный синус;

-интегральный косинус;

;

;

.

Определение 1. Рассмотрим отрезок . Набор точек таких, что будем называть разбиением отрезка и обозначать, например, через . Отрезки будем называть отрезками разбиения . Диаметром разбиения назовем число , где .

Условимся диаметр разбиения обозначать символом .

Определение 2. Пусть , -разбиение отрезка . Для каждого на отрезке фиксируем произвольную точку . Сумма называется интегральной суммой и обозначается .

Определение 3. Число называется пределом интегральных сумм при условии, что диаметр разбиения стремится к нулю, если : , неравенство справедливо при любом выборе точек . обозначают .

Определение 3. Функция называется интегрируемой на отрезке , если существует предел I интегральных сумм при условии, что диаметр разбиения стремиться к нулю. При этом называют определенным интегралом (интегралом Римана) на отрезке и обозначают .

Предложение 1. Интегрируемая на отрезке функция необходимо ограничена на .

Предложение 2. Если функция интегрируема на отрезке , то

, где

Следствие 1. Если функция , то

Теорема 1. Если функция интегрируема на отрезке , то функция также интегрируема на отрезке .

14) Классы интегрируемых функций.

Совокупность функций, интегрируемых на отрезке ,будем обозначать символом .

Примером неинтегрируемой функции служит функция

Теорема 1. Пусть .

1) Если непрерывна на отрезке , то .

2) Если имеет конечное множество точек разрыва, то .

3) Если монотонна, то .

Дата добавления: 2014-11-06