Формула замены переменной в определенном интеграле

Формула Ньютона-Лейбница (основная формула интегрального исчисления).

Теорема о среднем.

Монотонность интеграла Римана.

Теорема 1. Пусть и для любого . Тогда .

Следствие 1. (монотонность интеграла). Пусть , для . Тогда .

Следствие 2. Для справедливо неравенство .

Теорема 1. Пусть . Тогда , где .

Определение 1. называется средним значением функции на отрезке .

Определение 1. Положим

.

Для функции положим

Нетрудно видеть, что для любых , в случае существования интегралов , , , справедливо равенство

.

Теорема 1. (формула Ньютона-Лейбница). Пусть

1)

2) имеет примитивную .

Тогда

.

Замечание 1. Разность часто обозначают символом .

Замечание 2. При предположениях теоремы

.

Пример 1. Найти .

Решение. .

Теорема 1. Пусть

1. ;

2. ;

3. , т.е. .

Тогда

.

Пример 1. Найти (a>0).

Решение. Пусть , . Так как для , то .

По Теореме 1

.

Пример 2. Можно ли интеграл

вычислить с помощью подстановки ?

Решение. Нет нельзя. Как бы мы не подбирали отрезок , никогда не примет значение 2.

Пример 3. Докажите, что для непрерывной функции :

1) , если функция четная.

2) , если функция нечетная.

Решение. 1) По свойству аддитивности интеграла

Пологая , x = -t имеем

Поэтому .

2) Рассуждая так же, как в 1), имеем

.

Пример 4. Докажите, что если непрерывная периодическая функция с периодом Т, то

,

где а - произвольное действительное число

Решение. Так как , то

.

Пусть . Тогда . Поэтому

. Следовательно .

Дата добавления: 2014-11-06