Двійкові, вісімкові та шістиадцяткові числа

Позиційні системи числення

Система числення - це спосіб подання довільного числа за допомогою алфавіту сим­волів, які називають цифрами. Є різні системи числення. Від їх особливостей залежить наочність відображення чисел та складність виконання операцій над числами. Прикла­дом системи числення з дуже складним способом запису чисел і громіздкими правилами виконання арифметичних операцій є римська система числення.

Якщо в послідовності цифр, які зображають число, має значення позиція цифри, то систему числення називають позиційною. Такі системи числення характеризуються нао­чністю відображення чисел та простим виконанням арифметичних операцій. У позиційних системах числення при безпосередньому представленні цифр число записується у вигляді:

X = х_s х_s-1,...х₁х₀,х_-1,...х_-m.

Кома у цій послідовності відділяє цілу частину числа від дробової. Позиції цифр, які рахуються від коми, називають розрядами. Кількісний еквівалент, що виражається цим записом, визначається так:

Х = k^sx_s+k^s-1x_s-1+…+k¹x₁+k⁰x₀+k^-1x_-1+…+k^-mx_-m

де:

k - основа системи числення, тобто кількість різних цифр, які використовуються в позиційній системі числення,

s+1 - розрядність цілої частини числа,

m - розрядність дробової частини числа,

x_i - цифри і-го розряду запису числа (х. = 0, 1,к-1),

kⁱ - вага і-го розряду.

У цьому випадку вага і-го розряду в к разів більша за вагу (і-1)-го розряду. Такі сис­теми числення називають системами з природним порядком ваги. До них належать двій­кова, вісімкова, десяткова і шістнадцяткова системи числення.

У звичній для нас десятковій системі числення довільне число подається цифрами від 0 до 9; при цьому має значення позиція цифри. Число в десятковій системі запису­ється у вигляді:

D=D_N-1D_N-2...D₁D₀,D^’₁D^’₂,…D^’_M,

а значення числа обчислюється за таким виразом:

D=D_N-110^N-1+DN_-210^N-2+…+D₁10¹+D₀10⁰+D^’₁10^-1+D^’₂10^-2+…+D^’_M10^-M,

де:

N - кількість цифр (розрядів) у цілій частині числа (зліва від коми),

М - кількість розрядів у дробовій частині числа (справа від коми),

D_i - значення і-го розряду (розряди цілої частини),

D^’_i - значення і-го розряду (розряди дробової частини),

D - значення числа.

Звичайно, що дробової або цілої частини числа може і не бути (N або М = 0).

У зв’язку з тим, що елементи з двома станами використовуються як базові елементи комп’ютерної техніки, всі числа в комп’ютерах представляються у двійковій системі чис­лення. Розглянемо особливості цієї системи.

Двійкова система числення будується за тим самим правилом, що і десяткова, але в ній використовуються лише дві цифри - 0 та 1. Число у двійковій системі числення за­писується у вигляді:

B=B_N-1B_N-2...B₁B₀,B^’₁B^’₂,…B^’_M,

а значення числа обчислюється за таким виразом:

B=B_N-12^N-1+B_N-22^N-2+…+B₁2¹+ B₀2⁰+B^’₁2^-1+B^’₂2^-2+…+B^’_M2^-M,

де:

N - кількість двійкових цифр (розрядів) у цілій частині числа,

М - кількість двійкових розрядів у дробовій частині числа,

В_i - значення і-го розряду цілої частини числа,

В^’_i - значення і-го розряду дробової частини числа,

В - значення числа.

Приклади двійкових чисел:

1011010,01₂= 1.2⁶ + 0 • 2⁵ + 1 • 2⁴ + 1 • 2³+ 0 • 2² + 1 • 2^і + 0 • 2° + 0 • 2"¹ + 1 2 ^-2 = 64 + 16 +8 + 2 + 0,25 = 90, 25₁₀

101,01101₂ = 5, 040625₂

'1100110, 11, = 102,75₁₀

Часто у розробника, а то і в користувача комп’ютера, виникає потреба в перевірці ко­ректності виконання операцій над двійковими числами комп’ютером або його вузлом.

А оскільки в комп’ютерах опрацьовуються багаторозрядні двійкові числа, і оперувати з такими довгими послідовностями нулів та одиниць (наприклад, рядок із 32 цифр) не­зручно, то набули поширення вісімкова та шістнадцяткова системи числення. У вісімковій системі числення використовують вісім цифр від 0 до 7, а у шістнадцятковій системі числення крім десяткових цифр від 0 до 9 використовують 6 літер латинського алфавіту (А, В, С, Б, Е, Б) для позначення цифр від 10 до 15. Значення числа обчислюється за та­ким виразом:

H=H_N-116^N-1+H_N-216^N-2+…+H₁16¹+ H₀16⁰+H^’₁16^-1+H^’₂16^-2+…+H^’_M16^-M,

де:

N - кількість цифр (розрядів) у цілій частині числа (зліва від коми),

М - кількість розрядів у дробовій частині числа (справа від коми),

Н_i - значення і-го розряду (розряди цілої частини),

Н^’_i - значення і-го розряду (розряди дробової частини),

Н - значення числа.

Особливістю цих систем є зручний перехід до двійкової системи та навпаки. Три двійкових розряди переводяться в один вісімковий, а чотири двійкових розряди - в один шістнадцятковий, як показано в табл. 2.1.

Таблиця 2.1

Двійкова	Шістнадцяткова	Двійкова	Шістнадцяткова
			А
			В
			С
			D
			Е
			F

Наприклад, двійкове число 01101101 шістнадцятковій системі записуватиметься як 6D. Для переведення чисел із шістнадцяткової та вісімкової систем числення у двійкову необхідно кожну цифру числа, яке переводиться, замінити відповідно чотири- або три- розрядним двійковим еквівалентом - тетрадою або тріадою, а отримані двійкові цифри розташувати на місцях шістнадцяткових або вісімкових цифр.

У разі необхідності переведення чисел із десяткової системи числення у вісімкову, шістнадцяткову та двійкову переведення робиться лише в одну систему (вісімкову або шістнадцяткову). Подальше переведення виконується через двійкову систему, викорис­товуючи тріади та тетради.

Приклад 1. Переведемо число 12345,67 з десяткової системи числення у двійкову, ві­сімкову, шістнадцяткову.

1. Переведення цілої частини числа у вісімкову систему:

12345: 8 = 1543, залишок 1;

1543: 8 = 192, залишок 7;

192: 8 = 24, залишок 0;

24: 8 = 3, залишок 0;

3:8 = 0, залишок 3.

Результат: 30071.

2. Переведення дробової частини числа у вісімкову систему:

0,67 х 8 = 5,36;

0,36 х 8 = 2,88;

0,88 х 8 = 7,04;

0,04 х 8 = 0,32.

Наближений результат: 0,5270....

3. Отримання повного результату шляхом об’єднання результатів, отриманих в п. 1 та п. 2. Результат: 30071,5270....

4. Переведення результату у двійкову та шістнадцяткову системи числення (табл. 2.2). Поділ двійкового числа на тріади та тетради починається від коми ліворуч і праворуч. Результат: 12345,6710=30071,52708=11000000111001,1010101112=3039,АВ816.

Таблиця 2.2

,

8-кові цифри

,

^1^1

2-кові цифри

,

А

В

16-кові цифри

Дата добавления: 2014-11-06