Методические рекомендации 12 страница

Укажем в заключение этого параграфа, что выражение (44,6) для упругой энергии смектика можно несколько обобщить вклю­чением в него некоторых членов более высокого порядка, но без введения при этом дополнительных коэффициентов.

Для этого заметим, что вклад в энергию, описываемый пер­вым членом в (44,6), физически связан с изменением расстояния а

^г) Grlnstein О., Pelcooits R. А. — Phys. Rev. Lett., 1981, v. 47, p. 856; Phys. Rev, 1982, v. A26, p. 915; E. И. К,щ.— ЖЭТФ, 1982, т. 83, с. 1376. При исследовании необходимо учитывать также и члены третьего и четвертого порядков по и в разложении свободной энергии.

■< " ■ ■■■■■ —^[76] - - ". -- >

между слоями; производная ди/дг совпадает с относительным изме­нением этого расстояния при смещении и_г = и, и потому этот член можно записать в виде V» Ро#' (§о/а)^а. Но расстояние между слоями может измениться не только из-за зависимости смещения и от координаты 2, но и от его зависимости от х и у. Это легко по­нять, представив себе все слои одновременно повернутыми, ска­жем, вокруг оси у на угол 8 таким образом, что величина периода структуры вдоль оси 2 остается равной а; расстояние же между слоями (измеренное по направлению нормалей к ним) оказывается при этом равным a cos 9. При малых углах 8 изменение расстоя­ния между слоями

_чбя = a(cos 8 — 1}я* —а0²/2.

Поскольку в то же время смещение и при рассматриваемом пово­роте есть и — const +• х tg 8 да const -f- хЪ, то

да 1 / ди \2

а * 2 V, дх } *

В таком виде это выражение справедливо при любой зависимости и от х; если же и зависит также и от у, то вместо (ди/дх)^% надо писать (Vjw)⁸.

Таким образом, с учетом описанного эффекта свободную энергию (44,6) надо писать в виде г, р₀В' г ди 1 / ди \2 1 / ди \2-|2 к

Это выражение используется в задаче к этому параграфу. Задача

Слой смектика (толщины А) с плоским» границами, параллельными пло­скостям'слоистой структуры, подвергнут однородному растяжению вдоль пер­пендикулярной ему оси, г. Найти критическую величину растяжения, за которым слоистая структура смектика становится неустойчивой по отношению к попереч­ным возмущениям (W. Helfrieh, 1971)¹),

Решение. Однородное растяжение означает деформацию и — уг, где постоянная у > 0. Для исследования устойчивости полагаем и = уг + би (х, г), где би — малое возмущение, удовлетворяющее граничным условиям -би = 0 при г = ±ft/2 (плоскость *, у выбрана посередине слоя). С точностью до членов второго порядка, полная упругая энергия возмущения (отнесенная к единице длины вдоль оси у):

1^.^1{в-_е.(^.)'-в^у ₊ ^)1^ со

(член с у д&и/дг выпадает при интегрировании по dz в силу граничных условий). Будем рассматривать возмущения вида

би = const-cosfe_z2-cosk_sx, k_b = лп/h, n = 1, 2,,„

(поперечная модуляция слоистой структуры). Условие устойчивости структуры состоит в положительности энергии (1). Заменив все интегрируемые множители sin⁴» cos² их средними значениями 1/2, получим это условие в виде

В'р₀(Щ-ук_х) + К₁¥_х>0.

Граница устойчивости (по мере увеличения у) определяется появлением веще­ственного корня k\ трехчлена в левой стороне этого неравенства (комплексные значения k_x не удовлетворяют условию конечности возмущения во всей пло­скости х, у). Первое такое появление происходит для возмущения.с я = 1. Для вето находим критическое растяжение и соответствующее значение k_x = й_кр ^[77]):

2я / Кг у/*. я /р„В' \V⁸

§ 45, Дислокации в смектиках

Понятие дислокации в смектике имеет тот же смысл, что и в обычном кристалле. Разница состоит лишь в том, что ввиду одно­мерной (вдоль оси г) периодичности микроскопической структуры смектиков вектор Бюргерса дислокации в них всегда направлен по оси г, а по величине равен целому кратному от периода а структуры.

С учетом этого замечания для деформации вокруг дислокации в смектике остается справедливой полученная в § 27 формула (27,10) — при надлежащем определении тензора модулей упругости hhim> Для этого введем тензор напряжений в смектике <j_tk в соот­ветствии с обычным определением, т. е. по формуле

F_z = d_ho_2ki (45,1)

где F_t— объемная «сила внутренних напряжений» (44,9). Вве­дем также тензор деформаций, отвечающий смещению щ = и; отличные от нуля его компоненты!

— _ 1 ди _ 1 ди _(Аг

™~ дг * ^xz Т~дГ' ^и«* 2~1£Г"' * ' '

Сила (44,9) может быть представлена в виде (45,1), если выразить тензор напряжений через тензор деформации формулами a_ih =

— hklmPtm С ^?)

^zxzz — P&S j f^zxzx ⁼ ^zyzy — — ^ClA_L> "^zxzy —

~ hxzz = hyzz = 0; (45,3) некоторые из этих компонент — операторы.

Формула (27,10) для смещения и_г — и принимает вид

и (г) = - W J rn~-G{t-г') df, (45,4)

где G = G_zz —функция (44,12).

Рассмотрим два частных случая дислокаций — прямолиней­ные винтовую и краевую. В первом случае ось дислокации совпа­дает с направлением вектора Бюргерса, т. е. с осью г. Этот слу­чай вообще не требует каких-либо новых вычислений. Заранее ясно, что деформация и будет зависеть только от координат х, у. Но в плоскости х, у среда изотропна. Поэтому можно сразу вос­пользоваться результатом задачи 2, § 27, согласно которому

и = 6cp/2jt, (45,5)

где ф — полярный угол радиус-вектора в плоскости ху.

Обратимся к более сложному случаю* краевой дислокации (P. G. de Gennes, 1972). В этом случае ось дислокации перпен­дикулярна вектору Бюргерса; пусть она совпадает с осью у. Тогда в качестве поверхности S_D в интеграле (45,4) можно взять правую полуплоскость х, у, а вектор п нормали к ней будет лежать вдоль отрицательного направления оси г. Из всех компонент вида h_zkzz отлична, от нуля только = 5'р„, так что фор­мула (45,4) принимает вид

оо оо

и (г) = ЬВ'_Ро j j ^т%7^Т,) dx' dy\

—оо 0

Подставляем сюда функцию G из (44,12). Дифференцирование по z дает множитель ik_z, интегрирование по dy дает 2яб (&„), б-функция устраняется затем интегрированием по dk_y. В инте­грале

| e~'^ikx*'dx' о

для обеспечения сходимости надо понимать k_x как k_s —i0. Та­ким образом, после выполнения интегрирований по dx'dy'dk_y получаем

оо

где

"(^Г)=-^& J k_x-i0 ⁷fe» ^"йГ»

e-OO

oo

Ulb f k_ztxp(ik_zz) dk_z,_a_ Ki

Последний интеграл вычисляется путем замыкания контура интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в верх»-

§ 46 J

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СМЕКТИКОВ

ней (при z > 0) или нижней (при г < 0) полуплоскости комплекс­ной переменной k_z и взятия вычета в полюсе k_z = i%k_x или k_z = = —ikk\:

/_=±_|_ехр(-^|2|),

где верхний или нижний знак относятся соответственно к z > 0 и г <5 0. Таким образом, смещение

оо

и(х, г) = ± J ехр {— Щ |г| + ik_xx\ _k^._Q. (45,6)

—-оо

Более интересно, однако, не само смещение, а его производные по координатам. Для производной по х имеем

"!г^в±Т£- |ехр{-^!1г| + ад^ =

:------ ОО

^==±4(,Я)^&_г|)^^еХР{-ВД-}- ⁽⁴⁵'⁷⁾

Согласно (45,6) производная по г связана с производными по х формулой

ди, д²и

откуда

ди Ьх (х^% \ _{/лС 0}ч

-5" = ~в_(яХ)'/»|«|^ ^еХр Г 4ХТ7Г)• ⁽⁴⁵'⁸⁾

Деформация быстро (экспоненциально) стремится к нулю при |*| ->- оо и гораздо медленнее (по степенному закону) при \z \ оо.

§ 46. Уравнения движения смектиков

Механика смектиков имеет то общее с механикой нематиков, что в обоих случаях речь идет о гидродинамике с дополнитель­ными (по сравнению с обычной жидкостью) переменными. В слу­чае нематиков этой переменной является директор п, а в случае смектиков — смещение и слоев (Р. С. Martin, О. Parodi, P. S. Pe­rsian, 1972). Последнее требует пояснения. Скорость опре­деляется в гидродинамике как импульс единицы массы веще­ства. Ее компонента v_z отнюдь не обязана совпадать в данном случае с производной duldt. Перенос массы (в направлении оси г) может осуществляться в смектике не только за счет деформиро­вания слоев, но и путем «просачивания» вещества сквозь остаю­щуюся неподвижной одномерную структуру (подобно описанному в § 43 аналогичному эффекту в холестериках). Это явление не специфично для жидких кристаллов, аналогичное явление воз­можно и в твердых кристаллах, где оно связано с диффузией дефектов (см. примечание на с. 124). Но в смектиках оно в прин­ципе неустранимо ввиду большей «размытости» периодической структуры (как бы содержащей значительное число дефектов — вакансий) и большей подвижности молекул.

При адиабатическом движении каждый элемент жидкости переносит свое постоянное значение энтропии s (отнесенной к еди­нице массы); если в какой-либо начальный момент времени энтро­пия s была постоянна по всему объему среды, она останется по­стоянной и в дальнейшем. Поскольку условие s == const спра­ведливо именно для энтропии единицы массы, будет удобным относить сначала к единице массы также и внутреннюю энергию среды; обозначим ее через е. Для деформированного смектика эта величина выражается формулой, аналогичной (44,1):

e_d = е - e₀(s) = -^-(р - р₀)* + -|-(р - р₀) +

+4(-!-)²+^(^Д^ (46,1)

где Ро — плотность недеформированной среды; коэффициенты А, В, С здесь не совпадают с таковыми в (44,1) — они представляют собой теперь адиабатические значения модулей упругости (и пред­полагаются выраженными в функции от s), а не изотермические, как в (44,1); что касается коэффициента Къ ^{т0 его} изотермическое и адиабатическое значения совпадают по тем же причинам, что й для нематиков (см. конец § 36) *).

Единица массы вещества занимает объем 1/р. Поэтому термо­динамическое соотношение для дифференциала энергии:

dz = Tds - pdV = Tds + j_rdp.

Давление в среде можно, следовательно, найти дифференцирова­нием выражения (46,1)

P = P^%(lfc)_s™^A(p-Po) + PoC~-. (46,2)

Дальнейшее построение уравнений движения смектиков очень близко по используемой последовательности операций произве­денному в § 40 выводу уравнений движения нематиков. Для уси­ления этой аналогии снова (как и в § 40) будем пользоваться

') Строго говоря, в (46,1) надо было бы писать ди/дг— 6^ (s) вместо ди1дг, где о₀ (s) — значение дшдг в отсутствие внешних сил при энтропии s. Рассма­тривая движение при заданном $, мы можем выбрать в качестве недеформирован­ного именно это состояние и положить б₀ (s) = 0. Подчеркнем, однако, что после этого уже нельзя, например, дифференцировать выражение (46,1) по s с целью определения температуры по формуле Т = (de/ds)_pl

§ 46] уравнения движения смектиков 239

энергией Е — ре и энтропией S = ps, отнесенными к единице объема.

Уравнение непрерывности имеет обычный вид [78])

-^+div(pv) = 0. (46,3)

Динамическое уравнение для скорости должно иметь вид

9-%h = d_ko_lk (46,4)

dt

(ср. (40,7)); вид тензора напряжений будет установлен ниже.

Еще одно уравнение связано с наличием дополнительной переменной и выражает собой отличие v_z от du/dt:

= (46,5)

Величина N представляет собой скорость «просачивания» — скорость жидкости относительно одномерной решетки; она имеет кинетическую природу, и ее выражение будет установлено ниже.

Наконец, уравнение для энтропии, учитывающее диссипатив-ные процессы в среде, имеет вид (40,8)

^__+div^_{5v +} ^)₌^.. (46,6)

Как и в § 40, вычисляем производную по времени от полной энер­гии единицы объема среды, фигурирующую в уравнении закона сохранения энергии (40,11). Отличие возникает только в виде последнего члена в (40,12). Имеем теперь ⁸)

([79])р._в-№Ьт-5-+^^«)(^4г)-

--a-fr+divi-.-} (46,7)

(как и в § 40, члены с полными дивергенциями не выписываем), где введено обозначение

■'^h- 4 ([80]&),.. ~ + ^ _ _кАи.

(46,8)

Если рассматривать h как z-компоненту векторной величины h = nh (n — единичный вектор вдоль оси г), то легко убедиться, что этот вектор может быть представлен в виде дивергенции

¹) Хотя мы интересуемся в конечном счете лишь линеаризованными урав­нениями движения, мы не производим линеаризации на каждом этапе выводов, так как это усложнило бы запись формул.

Ы=д_ко%, (46,9)

где симметричный тензор o\k имеет следующие компоненты:

(Г) V JL dU (Г) tr д dU (Г) (\ охг = - KiA± -jrr-t аУ = - /CiA_x -д-, a_xJ = 0.

(46,10)

Подставив в (46,7) из уравнения (46,5) и снова выделив в одном из членов полную дивергенцию, пишем

№)„. _s = -M-v₍ д_ка\^гЦ + div {• • •} =

=-hN+ v«с|? + div {«•■}.

Это выражение отличается от (40,17) лишь смыслом обозначений Ли N ^х). Поступая далее также, как это было объяснено в § 40, получим прежнее выражение (40,21).для дисвипативной функции

2R = ei_kv_ik + Nh--±VT_t (46,11)

где o'ik — вязкая часть тензора напряжений:

о л = - рЬ_1к + о& + oik. (46,12)

Динамическое уравнение (46,4) с этим тензором напряжений принимает после линеаризации (опускаем член (vv) v) вид

Р° 11Г = -^diP + ^ht + ^dk°'^ik'(⁴⁶'¹³)

где вектор h = nh определен выражением (46,8).

Вязкий тензор напряжений a'ik~, тепловой поток q и скорость просачивания Л/ («термодинамические потоки») обычным образом представляются выражениями, линейными по «термодинамическим силам» — v_lh/T, Т~² d_tT, —hIT, причем коэффициенты в этих выражениях связаны друг с другом соотношениями, следующими из принципа Онсагера. Не повторяя заново соответствующих рассуждений (ср. §§41, 43), напишем результат. При этом будем считать, что (как это обычно имеет место) смектик обладает цен­тром инверсии (до сих пор это еще не предполагалось). Тогда вязкий тензор напряжений дается той же формулой (41,4), что и для нема­тиков, причем под п следует понимать направление оси г. Тепловой поток и скорость просачивания даются выражениями

^а [81] ^{= —} + V^h> Ч± = —»«xv\iT, N = X_ph — -y--^-, (46,14)причем положительность диссипативной функции требует выпол­нения неравенств

«х. К>°> Р [82] <ТХ_Рх_п. (46,15)

Явление просачивания делает возможным существование в смектиках эффекта, подобного описанному в конце § 43 для холе­стериков. Если периодическая структура смектика каким-то способом закреплена в пространстве, возможно существование однородного стационарного течения вдоль оси г. Из (46,13) сле­дует, что для такого течения dpldz = ft, а из (46,5) с N из (46,14):

^-У^-л-р-^-. (46,16)

К сказанному выше о кинетических коэффициентах смектиков надо сделать важную оговорку. Уже упоминавшаяся в § 45 рас­ходимость флуктуации в смектиках в особенности сильно про­является именно в кинетических явлениях, что может сущест­венно изменить их характер [83]).

§ 47. Звук в смектиках

В обычных жидкостях (а также в нематических жидких кри­сталлах) существует лишь одна ветвь слабозатухающих звуковых колебаний — продольные звуковые волны. В твердых кристаллах и аморфных твердых телах существуют три звуковые (акустиче­ские) ветви линейного закона дисперсии колебаний (§§ 22, 23). Одномерные кристаллы — смектики — и здесь занимают проме­жуточное положение: в них имеются две акустические ветви (P. G. de Gennes, 1969). Не интересуясь здесь коэффициентами затухания этих волн, и имея в виду лишь определение скоростей их распространения, пренебрежем в уравнениях движения всеми диссипативными членами. Полная система линеаризованных урав­нений движения складывается из уравнения непрерывности

^-4-pdivv = 0 (47,1)

(здесь и ниже индекс у р₀ опускаем; р', р' — переменные части плотности и давления), уравнения (46,5), которое сводится к

* = (47,2)

■—просачивание отсутствует, и динамического уравнения (46,13):

причем, согласно (46,2),

р' = Лр' + рС-|-. (47,4)

В выражении (46,8) для h следует опустить член Ki&xii, содер­жащий производные высших порядков, — он оказался бы слиш­ком высокого порядка по волновому вектору k, который для зву­ковых волн следует рассматривать как малую величину;

Л-рВ^+С^. (47,5)

В реальных смектиках величины В и С обычно малы по срав­нению с Л. В этих условиях, которые мы и будем предполагать, природа обеих акустических ветвей в смектиках становится более наглядной.

Если пренебречь в уравнениях движения всеми членами, содер­жащими малые коэффициенты В и С, то они сведутся к уравне­ниям движения обычной жидкости с уравнением состояния р' = ~£ Лр', т. е. с сжимаемостью (др'1др')_а = Л. Соответствующие этому случаю колебания представляют собой обычные звуковые волны — продольные волны сжатия и расширения среды. Ско­рость их распространения

c_t = AW (47,6)

и (в рассматриваемом приближении) не зависит от направле­ния.

Фазовая скорость с_а волн второй акустической ветви, как мы увидим, мала по сравнению с с_х\ afk = с_% < с_х. Поэтому по отно­шению к этим колебаниям среду можно считать несжимаемой (ср. примечание на стр. 220). Уравнение непрерывности сводится при этом к условию несжимаемости div v = 0; в (47,5) опу­скаем второй член, так что уравнение (47,3) принимает вид

РТГ^в-*р' + прЯ-|г. (47,7)

Продифференцировав z-компоненту этого уравнения по z и под­ставив в него v_z — du'fdt, получим

№ _ ay, р ffl6

где б = ди/дг. Применив же к уравнению (47,7) операцию div, в силу условия несжимаемости получим

Наконец, исключив из этих двух уравнений р', получим одно уравнение для величины б:

^rU-B^-S + SrUy («.8)

§ 47]

звук в смектиках

Зависимость смещения и от координаты г означает, что ме­няются расстояния с между соседними слоями: 6а = (ди/дг) а сама же величина б = ди/дг дает относительное изменение этого расстояния. Таким образом, уравнение (47,8) описывает распро­странение поперечной (kv = 0) волны, в которой испытывают Коле­бания расстояния между слоями при постоянной плотности. Для плоской волны, в которой б со exp {ikr — Ш}, из (47,8) имеем

= Bk\k%

откуда находим скорость

с_ъ = В¹'² sin 6 cos 9, (47,9)

где,9 — угол между к и осью г. Эта скорость анизотропна, причем обращается в нуль для распространения как вдоль оси г (9 = 0), так и в плоскости х, у (9 = я/2). При углах, близких к этим значениям, возрастает роль диссипативных эффектов. (См. за­дачи 2 и 3 к этому параграфу.)

Задача

1; Найти фазовые скорости акустических воли в смектиках при произ­вольном соотношении между модулями А, В, С,

Решение, Продифференцировав уравнение, (47,3) по / и исключив про­изводные dp'/dt и duldt с помощью (47,1—2), получим уравнение

^-^v.-cv^-c^div. + b^].

Для плоской волны, в которой v со exp (ikr — Ш), это уравнение сводится-к соотношению

- co²v = - Ак (kv) + Ckk_zv_z + n [Ck_z (kv) - ВЩр_г], (i)

Пусть волновой вектор к расположен в плоскости х, г. Тогда из (1) следует, что и скорость v находится в той же плоскости, а х- и г-компоненты дают систему двух уравнений

v_z [с² — (А + В — 2С) cos² 6] + v_x (С — А) sin 9 cos в = 0,

v_z (С — A) sin 8 cos в + и_я [с² — A sin² 8] = 0,

где в = a/k — скорость волны, а 6— угол между к и осью г. Приравняв нулю определитель этой системы, получим дисперсионное уравнение

с* — с² {А + (В — 2С) cos² 8] + (АВ — С²) sin² в cos² 9 = 0.

Больший и меньший корни этого квадратного (по s²) уравнения определяют ско­рости ct и с₂. В частности

Ч Л^1/2 при 8= п/2,

^{1 =} i (А + В — 2С)¹'² при 8 = 0.

Скорость же сц в этих направлениях обращается в нуль,

2. С учетом диссипации определить закон дисперсии второй акустической ветви при распространении в плоскости слоев (v = я/2).

Решение. В условиях задачи скорость v направлена по оси г, а все величины зависят от х. Проецируя уравнение (46,13) на ось г, получаем

—' ('соро = — Kxk⁴u + iko'_2Xt (2)

С помощью (41,7) находим

о_гх — —j - V.

Легко проверить, что ввиду малости параметра Kip/f\l (^СР- ^с (42,7)) можно пре­небречь левой стороной (2), а эффекты просачивания при малых k несущественны, так что v = —/сои. Окончательно получаем закон дисперсии:

tco =

S. То же для распространения перпендикулярно плоскости слоев (0= 0).

Решение. Условие несжимаемости приводит в этом случае к тому, что v = 0 и движение смектика происходит только путем просачивания, Из (46,5) и (46,14) имеем тогда

ди» р д²и

или

to = XppBk*.

Мы пренебрегли в (46,14) членом с градиентом температуры. Это возможно, если температура релаксирует быстрее, чем смещение а, т. е. если ц ^ Х_ррВ, В этом случае, однако, нужно понимать под В изотермический модуль упругости.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ»')

Бигармоническое уравнение 31, 37

Вектор Бюргерса 150

— директора нематика 190
смектика 230

— смещения 9 Волны изгиба 139

— Релея 134

— сдвиговые 219

Геликоидальная структура 224 Грина тензор 41, 44

------ смектика 232

Групповая скорость 132

Деформация диска 71 и далее

— цилиндра 34 и далее

— шара 33 • и далее Дисклинации устойчивость 203, 206 Дислокаций плотность 164

------ потока 167

Дислокационная поляризация 168 Дислокационный момент 154, 168 Дислокация винтовая 150, 155, 163, 236

— краевая 149, 156, 163, 236 Диссипативная функция 178, 210, 213,

Дисторсии тензор 151, 165, 166

Жесткость крутильная 90

— при изгибе 65, 111

— цилиндрическая 65

Индекс Франка 196, 205

Клиновидная пластинка 73 Комбинационные частоты 145 Контактная задача 45

------ для цилиндров 50

Концентрация напряжений 39, 75

Коэффициент всестороннего сжатия 24

— Пуассона 25
смектика 231

— теплового расширения 28_г 57 Коэффициенты Ламэ 21

Максвелловская жидкость 188

Мембрана 79, 81, 143

Модули адиабатические 29, 194, 225

— всестороннего сжатия 22

— изотермические 28, 194, 225

— растяжение (Юнга) 25

— сдвига 22

— упругости кристаллов 51

------ нематиков (Франка) 191

------ смектиков 230, 233

Молекулярное поле 193

Нематиков кручение 191

— поперечный изгиб 191

— продольный изгиб 191 Нейтральная поверхность 60, 93 Неустойчивость упругая 83, 107, 119

------ смектика 234

Одностороннее сжатие 27 Отражение звука 127 и далее

Параметр, пространство вырождения 205

Переползание 161

Пластическая деформация 19, 160, 165 Плоская деформация 32 Плоское напряженное состояние 71 Плоскость скольжения 160, 167 Поверхностное натяжение 69 Поверхность скольжения 160 Принцип Онсагера 179, 215, 226, 240 Просачивание 226, 237, 239, 244 Простое растяжение 25

Сдвиг 21

Сила перерезывающая ПО

— трения дисклинации 218 Скорость звука 125, 218, 242 Собственные колебания мембраны 143

------ пластинки 142

------ полости 130

------ стержня 141

------ шара 129

Столкновение шаров 50

Термодинамические потоки и силы 216, 226, 240

Тождества для тензора деформации 37

Упругая линия 96

— нить 109

— плоскость 70

— струна 114 Упругие деформации 19

Функция кручения 87

— напряжений 32, 37, 71

Энергия взаимодействия дислокаций 163

— дисклинации 202

— дислокации 155, 156

ИСПРАВЛЕНИЯ К ТОМУ - X «ФИЗИЧЕСКАЯ КИНЕТИКА», 1979

Страница	Строка.	Напечатано	Должно быть
		С—ф	<Р—С
	5 снизу	- J -	... J...
	5 сверху	С — оо	С — —оо
	12 сверху	...e-'(a+p)t.t>	...е~'^:<^a+P^c0s4^|)'^t...
	1 снизу	значение —оо.	значение оо.
	2 снизу	1>а	L» а
	2 сверху	...= pd|v..	...= р.0ф...
	3 сверху	возрастает	уменьшается
	4 сверху	а</	б>1
	(94,13)	= R-IGR =	= Г^[84]ц«=
	1 снизу	При a < 0...	При a > 0...

ИСПРАВЛЕНИЯ К ТОМУ IV «КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА», 1980

Страница

Строка

Напечатано

Должно быть

247 254

399 425

(57,10) (59,6)

10 снизу

11 сверху

16 сверху

{

о = 2яг⁵а*... — <н<2/п^[85]— s

S

I ШХ8 \

(

«юте \)

2ее' 32я... m^s

а— 2яг⁶а*... (Cikhi =••• >и>2т^[86]—<

__exp(i^M, в^[87] + 8'

[1]Если колебания перпендикулярны плоскости падения, то волна отражается целиком в виде такой же волны, так что Rt = 1,

^[2]) В силу свойств симметрии тензора Я^!_т имеем

hhtm^kh^kl ⁼ ^himl^kh^kl ⁼ ^mlhi^kh^kl-

Последнее выражение отличается от первого только обозначением немых индек­сов k, I, т. е. тензор hihlnfikki действительно симметричен по индексам i, т.

^[3]) Волновой вектор k = 2я/Я, где X — длина волны. Поэтому, согласно (25,9), скорость U должна была бы неограниченно возрастать при К-уО. Фи­зическая бессмысленность этого результата связана с тем, что формула (25,9) в действительности неприменима к слишком коротким волнам,

^[4]) Мы говорим здесь о внутренней энергии 8, а не о свободной энергии F, поскольку речь идет об адиабатических колебаниях.

^[5]) Мы говорим здесь о внутренней энергии 8, а не о свободной энергии F, поскольку речь идет об адиабатических колебаниях.

^[6]) Известным примером такого рода дефектов является тонкая двойниковая

прослойка в кристалле.

^[8]) Известным примером такого рода дефектов является тонкая двойниковая

Дата добавления: 2014-11-06