Методические рекомендации 8 страница

Будем относить диссипацию энергии к единице объема тела; для среднего (по времени) значения этой величины получаем из (34,1)

Ёц_ех — 2е| (^Ы0^ ~f~ ^Ы0*)>

где мы подставили k = co/c_t. Полная же средняя энергия волны равна удвоенной средней кинетической энергии; относя эту ве­личину тоже к единице объема, получим

Ё = pii² = (и²₀у + ul_z).

Коэффициент поглощения звука определяется как отношение средней диссипации энергии к удвоенному среднему потоку энер­гии в волне; эта величина определяет закон изменения амплитуды волны с расстоянием, убывающей пропорционально e~^v*. Таким образом, находим для коэффициента поглощения поперечных волн следующее выражение:

^Ъ 2c_tE 2рй *

В продольной звуковой водке и_х = щ cos (foe — юг), и_у = = и_г = 0. Аналогичное вычисление с помощью формул (34,1) и (34,2) приводит к результату:

Ь =

2р^

Эти формулы относятся, строго говоря, лишь к полностью изотропным аморфным телам. По порядку величины они, однако, определяют закон поглощения звука также и в анизотропных мо­нокристаллах.

Своеобразные особенности представляет поглощение звука в поликристаллических телах. Если длина волны звука "к мала по сравнению с размерами а отдельных кристаллитов, то в каж­дом кристаллите звук поглощается так же, как он поглощался бы в большом кристалле, и коэффициент пбглощения пропорцио­нален ю^г.

Если же К > а, то характер поглощения меняется. В такой волне можно считать, что каждый кристаллит подвергается воз­действию однородно распределенного давления. Но ввиду анизо­тропии кристаллитов и граничных условий на поверхностях их соприкосновения возникающая при этом деформация неоднородна. Она будет испытывать существенные изменения (изменение по­рядка величины ее самой) на протяжении размеров кристаллита, а не на протяжении длины волны, как это было бы в однородном теле. Для поглощения звука существенны скорости изменения де­формации и возникающие градиенты температуры. Из них первые будут иметь по-прежнему обычный порядок величины. Градиенты же температуры в пределах каждого кристаллита аномально ве­лики. Поэтому поглощение звука, обусловленное теплопровод­ностью, будет велико по сравнению с поглощением, связанным с вязкостью, и достаточно вычислить только первое.

Рассмотрим два различных предельных случая. Время, в те­чение которого происходит выравнивание температур на расстоя­ниях ~а путем теплопроводности (время релаксации для тепло­проводности),— порядка величины аУ%. Предположим сначала, что <о < %/а². Это значит, что время релаксации мало по сравне­нию с периодом колебаний в волне, и потому тепловое равновесие в пределах каждого кристаллита в значительной степени успе­вает установиться; мы имеем здесь дело с почти изотермическими колебаниями.

Пусть 7" — возникающие в кристаллите разности темпера­тур, а То — разности, которые возникли бы при адиабатическом процессе. Расход тепла путем теплопроводности (на единицу объёма) есть _

—div q = %АТ

~ хГ/а*.

Количество же тепла, выделяющееся при деформации, — порядка величины TqC ~ юТоС (С — теплоемкость). Приравнивая эти два выражения, получим

0>Я²

х

Температура испытывает изменение ~7" на протяжении размеров кристаллита, так что ее градиент ~7"/а. Наконец, Т₀ находим из (34,2), где надо положить u_tl ~ ku ~ «со/с (и—амплитуда вектора смещения):

Г_л~1°р-и (34,5)

(оценивая порядки величин, мы, естественно, не отличаем различ­ные скорости звука с). С помощью этих результатов вычисляем диссипацию энергии в единице объема:

и, разделив ее йа поток энергии сЕ ~ срю²«², получим искомый коэффициент затухания

У ~ о)² при» «- (34,6)

(С. Zeaer, 1938). Сравнивая это выражение с обычным выражением (34,3) и (34,4), мы можем сказать, что в рассматриваемом случае поглощение звука поликристаллическим телом происходит так, как если бы оно обладало вязкостью

Я ~ Та'р W/XC

гораздо большей, чем истинная вязкость составляющих его кри­сталлитов.

Далее, рассмотрим обратный предельный случай, когда ш > > %/а^а. Другими словами, время релаксации велико по сравне­нию с периодом колебаний в волне, и за время каждого периода не успевает произойти заметное выравнивание возникающих при деформации разностей температур. Было бы, однако, неправиль­ным считать, что определяющие поглощение звука градиенты тем­пературы порядка величины То/а. Тем самым мы учитывали бы лишь процесс теплопроводности внутри каждого кристаллита. Между тем основную роль в данном случае должен играть тепло­обмен между соседними кристаллами (Af. А. Исакович, 1948). Если бы кристаллиты были теплоизолированы друг от друга, то на границе между ними создавались бы разности температур того же порядка величины То, что и разности температур в пре­делах отдельного кристаллита. В действительности же граничные условия требуют непрерывности температуры при переходе че­рез поверхности соприкосновения между кристаллитами. В ре­зультате возникают «распространяющиеся» от границ внутрь кристаллита «температурные волны», затухающие на расстоя­нии ^г)

6 ~ (х/со)^[29]'^[30].

В рассматриваемом случае б а, т. е. основной градиент темпе­ратуры — порядка величины Го/б и имеет место на расстояниях, малых по сравнению с общими размерами кристаллита. Соответ­ствующая часть объема кристаллита ~а^[31]б; относя ее к полному объему ~а^[32], найдем среднюю диссипацию энергии:

^мех ~ т { ₀) Ф ~ Tab '

Подставив для Т'₀ выражение (34,5) и разделив на сЕ ~ фсо^[33]и^[34], получим искомый коэффициент поглощения

У ~ ^J^^L /х» при <»»-£-. (34,7)

Он оказывается пропорциональным корню из частоты^[35]).

Таким образом, • коэффициент поглощения звука в поли­кристаллическом теле при самых малых частотах (со -С %fb?) ме­няется как со^[36]; затем в области %/а? С со -С с/а он меняется про­порционально со^1/2, а при со > с/а. коэффициент поглощения снова пропорционален со^[37].

Аналогичные соображения относятся и к затуханию попереч­ных волн в тонких стержнях и пластинках. Если h есть толщина стержня или пластинки, то при К > h существен градиент темпе­ратуры в поперечном направлении и затухание обусловлено в основном теплопроводностью (см. задачи этого параграфа). Если при этом выполняется неравенство со С %1п ^[38] , то колебания можно считать изотермическими; поэтому при определении, на­пример, частот собственных колебаний стержня или пластинки надо в этом случае пользоваться изотермическими значениями модулей упругости.

Задачи

1. Определить коэффициент затухания продольных собственных колеба-
ний стержня.

Решение. Коэффициент затухания колебаний со временем определя-
ется как _

Р = |£мех|/2Е;

амплитуда колебаний убывает со временем пропорционально е~Н

В продольной волне в каждом малом участке стержня происходит простое растяжение или сжатие; компоненты тензора деформации

_ du_z _ ди₂

^игг — q_z, ^ихх — ^иуу — °ад ^ •

Для и_г пишем и_г — щ cos кг cos со/, где

к — —j~=r. V £_ад/р

Вычисления, аналогичные приведенным в тексте, приводят к следующему вы­ражению для коэффициентов затухания:

со* (ц Щ — №_f Щ иГр^га*

^Р 2р [ 3 (с]-с))с] ⁺ (с² - с²) (Зс² - 4с²) ⁺ 9С²

Вместо 2з_ад> о"_ад мы ввели здесь скорости с\, с% согласйо формулам (22,4).

2. То же для продольных колебаний пластинки.

Решение. Для волн с направлением колебаний, параллельным напра­влению волны (оси х), имеем следующие отличные от нуля компоненты тензора деформации:

„ _ ^ди_х_ о_ад ди_х

^Uxs ЫГ' " дх~

(см. (13,1)). Скорость распространения этих волн равна Вычисление приводит к результату:

со⁸ } 2р \

т| Щ + ^4с/ - ^&с№ЩиГкУ (1 + о_ад)²

з сИ(^с!-^с?) ^СН^С/-^С?) ^9ср

Для волн с направлением колебаний, перпендикулярным направлению волны, чц = 0 и затухание обусловлено одной только вязкостью tj. Коэффициент затухания для таких случаев всегда определяется формулой

Р = t]C0²/2pcf.

К этим случаям относится также и затухание крутильных колебаний в стержни.

3. Определить коэффициент затухания поперечных собственных колебаний стержня (с частотами, удовлетворяющими условию to 3> %/h^z, h — толщина стержня).

Решение. Основную роль в затухании играет теплопроводность. Со­гласно § 17 имеем в каждом элементе объема стержня

_ * _ ^х

^uzz—> ^ихх — ^иуу *=—°ав

(изгиб в плоскости х, г); при со > %/№ колебания адиабатичны. При слабом из­гибе радиус кривизны R = \1Х", так что

и_н = (1 - 2а_ад) хХ"-

(штрих означает дифференцирование по г). Наиболее быстрое изменение тем­пература испытывает в направлении поперёк стержня; поэтому (VT)² я* (дТ/дх)*. С помощью (34,1) и (34,2) получаем для средней диссипации энергии во всем стержне

----- 9С|— J

(S — площадь сечения стержня). Среднюю полную энергию можно найти как удвоенную потенциальную энергию:

£ад/„ \x^dz.

Окончательно получим для коэффициента затухания

Р =.

18/..С²

4. То же для поперечных колебаний пластинки.

Решение, Согласно (11,4) имеем в каждом элементе объема пластинки

"»~ 1-ст_ад дх²

(изгиб в плоскости*, г). Диссипацию энергии находим по формулам (34,1) и (34,2), а полную среднюю энергию — удваивая выражение (11,6). Коэффициент зату­хания равен

2хТа?Е_ал 1 + д_ад _ 2хГ«²р (Щ — 4с²)² с^2
Р- ЗС²А² 1-Оад ЗС²/.² ' (c\-c\)cl '

5. Определить изменение собственных частот поперечных колебаний стерж-
вя, связанное с неадиабатичностью колебаний. Стержень имеет форму длинной
пластинки толщины h. Поверхность стержня предполагается теплоизолиро-
ванной.

Решение. Пусть Т_ад (х, t) есть распределение температуры в стержне при адиабатических колебаниях, а Т (х, f) — истинное распределение темпера­туры в нем (х — координата вдоль толщины стержня; изменением температуры вдоль плоскости у, 2 пренебрегаем как более медленным). Поскольку при Т = = Гад теплообмен между отдельными участками тела отсутствует, ясно, что уравнение теплопроводности должно иметь вид

±-<Т-Т 1 - у *^Т dt ^{1 ад}' ~ ^Х дх» '

При периодических колебаниях с частотой со отклонения т_ад = Г_ад — Го, 1 •=» Г — Г₀ температуры от своего равновесного значения Г_в пропорциональ-вы е~*®^{, и мы имеем

(штрих означает дифференцирование по х). Поскольку т_ад, согласно (34,2), иропорционально иц, а компоненты Щъ пропорциональны х (см. § 17), то т_ад =

— Ах^ где А — постоянная, которую нет надобности вычислять (она выпадает из окончательного ответа). Решение уравнения

., (СО 1(0.

А т = Ах

г х

с граничным условием т' == О при х = dzh/2 (поверхность стержня теплоизоли­рована) есть

1=ид-)- '-"+<> К^-

Момент M_v сил внутренних напряжений в изогнутом стержне (изгиб в пло­скости хг) складывается из изотермической части My _го (момент при изотермиче­ском изгибе) и из части, связанной с неравномерной нагретостью стержня. Если М_у ад есть момент при адиабатическом изгибе, то при не вполне адиабатическом процессе дополнительная часть момента уменьшается по сравнению с величи­ной My _ад — М_у до в отношении

Й/2 1 ft/2

l-r-f(e)™ J xxdzj J rt_&ndz.

—ft/2 / —ft/2

Определяя при произвольной частоте со модуль Юнга Е_т как коэффициент про­порциональности' между. Му и IglR (см. (17,8)) и замечая, что Я_ад— Е — = Е*Та?1$Ср (см. (6,8); Е — изотермический модуль Юнга), можем написать:

= +/(а>)]Я»-^Г<*

9С_Р

Вычисление дает для? (со) выражение

... 24 / kit _t kh \

При со ->оо получаем, как и должно было быть, 1=1, так что Е_х = £_ад, а при со ~>- 0 / = О и Е₀= Е.

Частоты собственных колебаний пропорциональны корню из модуля Юнга (см. задачи 4—6 § 25). Поэтому имеем

где со„ — значения собственных частот при полной адиабатичности колебаний. Это с» комплексно. Разделяя действительную и мнимую части (со = со' -f- ф), получаем окончательно для собственной частоты

»' = со_с £

j ЕТа? 1 sh | — sin g

ЗС_Р g» chl-f-coslJ

и для коэффициента затухания

2£Га*х г 1 sh g + sin | 1 ^Р~ ЗС_рй* |/ | chi + cosU'

где введено обозначение g = h (со₀/2х)^1/2.

При больших значениях £ частота со стремится, как и следовало, к со,, а коэффициент затухания к

Р = 2ЕТа\1ЪС_р№ в согласии с результатом задачи 3.

а коэффициент затухания

§ 35, Очень вязкие жидкости

Для типичных жидкостей уравнения Навье—Стокса приме­нимы до тех пор, пока периоды движения велики по сравнению с молекулярными временами. Это, однако, не относится к очень вязким жидкостям. Для таких жидкостей обычные гидродинами­ческие уравнения становятся неприменимыми уже при гораздо больших периодах движения. Существуют вязкие жидкости, ко­торые в течение достаточно малых (но в то же время больших по сравнению с молекулярными) промежутков времени ведут себя, как твердые тела (например, глицерин, канифоль). Аморфные твердые тела (например, стекло) можно рассматривать как пре­дельный случай таких жидкостей с весьма большой вязкостью.

Свойства этих жидкостей могут быть описаны следующим спо­собом (предложенным Максвеллом). В течение малых промежут­ков времени они упруго деформируются. После прекращения де­формации в них остаются напряжения сдвига, затухающие, однако, со временем, так что по истечении достаточно большого промежутка времени никаких внутренних напряжений в жидко­сти практически не остается. Пусть т есть порядок величины вре­мени, в течение которого происходит затухание напряжений (т называют иногда максвелловским временем релаксации). Пред­положим, что жидкость подвергается воздействию некоторых пе­ременных внешних сил, периодически меняющихся со временем с частотой со. Если период 1/со изменения сил велик по сравнению с временем релаксации т, т. е. сот < 1, то рассматриваемая жид­кость будет вести себя, как обычная вязкая жидкость. Напротив, при достаточно больших частотах © (когда arc > 1) жидкость будет вести себя, как аморфное твердое тело.

Соответственно таким «промежуточным» свойствам рассматри­ваемых жидкостей их можно характеризовать одновременно коэф­фициентом вязкости т] и некоторым «модулем сдвига» р. Легко получить соотношение, связывающее друг с другом порядки ве­личин т), р и времени релаксации т. При воздействии периоди­ческих сил с достаточно малой частотой, когда жидкость ведет себя, как обычная, тензор напряжений определяется обычным вы­ражением для вязких напряжений в жидкости, т. е.

= 2т]й_№ = — 2iTKoa_ift.

В обратном предельном случае больших частот жидкость ведет
себя, как твердое тело, и внутренние напряжения должны опре-
деляться по формулам теории упругости, т. е. a_ih = 2[iu_ih (речь
идет все время о «деформациях чистого сдвига», так что предпо-
лагается, что и_н = 0, ац = 0). При частотах порядка ю ~ lh
напряжения, определяющиеся этими двумя выражениями, должны
совпадать по порядку величины. Таким образом, имеем г\и/%т ~
~ откуда

v\ ~ тр.. (35,1)

Это и есть искомое соотношение.

Выведем, наконец, уравнение движения, качественно описы­вающее поведение рассматриваемых жидкостей. Для этого будем исходить из наиболее простого предположения о законе затуха­ния внутренних напряжений (после прекращения движения); именно, будем считать, что оно происходит по простому экспонен­циальному закону, чему соответствует уравнение

=----------- —Oih>

dt т

С другой стороны, в твердом теле было бы a_ik — 2]iu_ih, и потому

dvjh _ п., duik Легко видеть, что уравнение

^ + 4-»» = ^Т (35.2)

приводит к правильным результатам в обоих предельных случаях медленных и быстрых движений, а потому может служить интер­поляционным уравнением для промежуточных случаев.

Так, для периодического движения, когда u_ik и a_ih зависят от времени посредством множителя е~^ш, имеем из (35,2)

—Ш_м +-j-a_ih = — 2icop«_i/u

откуда

о^ = ^!"i— (35,3)

1 + ^-тт.

При ют > 1 эта формула дает a_ik = 2p«_ift, т. е. обычное выра­жение для твердых тел, а при at < 1

o_ik = —2i\imu_ik = 2ртй_гл

— обычное выражение для жидкости с вязкостью рт.

глава vi

МЕХАНИКА ЖИДКИХ КРИСТАЛЛОВ»)

§ 36, Статические деформации нематиков

Жидкие кристаллы представляют собой с макроскопической точки зрения анизотропную» текучую среду. Механика этих сред несет в себе черты, свойственные как обычным жидкостям, так я упругим средам, и в этом смысле занимает положение, промежу­точное между гидродинамикой и теорией упругости.

Существуют различные тины жидких кристаллов. Категорию нематических жидких кристаллов (или, как говорят для краткости, нематиков) составляют среды, которые в своем недеформирован­ном состоянии однородны не только макро-, но и микроскопи­чески;, анизотропия среды связана только с анизотропной ориен­тацией молекул в пространстве (см. V, §§ 139, 140). Подавляю­щее большинство известных нематиков относится к простейшему их типу, в котором анизотропия полностью определяется заданием в каждой точке среды единичного вектора а, выделяющего Всего одно избранное направление; вектор п называют директором. При этом значения п и —п, различающиеся лишь знаком, физи­чески эквивалентны, так что выделенной является лишь опреде­ленная ось, а два противоположных направления вдоль нее экви­валентны. Наконец, свойства этого типа нематиков (в каждом элементе их объема) инвариантны относительна инверсии — изме­нения знака всех трех координат⁸). Ниже мы рассматриваем только этот тип нематических жидких кристаллов.

Таким образом, состояние нематической. среды описывается заданием в каждой ее точке наряду с обычными для жидкости ве­личинами — плотности р, давления р и скорости v — еще и ди­ректора п. Все эти величины входят в качестве неизвестных-функ­ций координат и времени в уравнения движения нематика.

*) Эта глава написана совместно с Л. П. Питаевским.

В равновесном состоянии неподвижный нематик, не находя-щийся под действием внешних сил (в том числе со стороны ограни­чивающих его стенок), однороден: во всем его объеме n = const. В деформированном же нематике направление директора медленно меняется по пространству; медленность подразумевается здесь в обычном для макроскопической теории смысле: характерные

длины, на которых деформация существенно меняется, ве­лики по сравнению с молекулярными размерами, так что про­изводные дщ/дх_к должны рассматриваться как малые величины.

В этой главе мы будем относить все термодинамические ве­личины к единице объема деформированного тела, а не к еди­нице объема недеформированного, как в предыдущих главах. Определенная таким образом плотность свободной энергии F те­матической среды складывается из свободной энергии недеформи­рованного нематика F₀ (р, Г) и энергии деформации F_d. Послед­няя представляет собой квадратичное по производным от п вы­ражение, общий вид которого (С, W. Oseen, 1933; F. С. Fmnk, 1958; J, L. Ericksen, 1962)

F_d = F - F₀ - <div и)² + (n rot я)² + {n rotn]² (36,1)

(см, V § 140); отметим, что для единичного вектора п (г) в силу тождества V«² s 0 справедливо равенство

[n rot п] == — (п у) я, (36,2)

поэтому последний член в (36,1) может быть записан также и в эквивалентной форме K_s <("V) n)²/2.

Энергия (36,1) играет в механике нематиков роль, аналогич­ную роли упругой энергии деформированного твердого тела, и именно ее существование придает этой механике некоторые черты теории упругости [39]).

Три квадратичные комбинации производных в (36,1) незави­симы друг от друга: каждая из них может быть отлична от куля при равных нулю двух других. Поэтому условие устойчивости неде­формированного состояния требует положительности всех трех коэффициентов /С_х, К_г, К₃ (функции плотности и температуры); мы будем называть их модулями упругости нематика (их называют также модулями Франка).

Упомянем, что деформации, в которых отлична от нуля лишь одна из величин div n, n rot п или (п rot п], называют соответ­ственно поперечным изгибом, кручением или продольным изги­бом²). В общем случае, конечно, деформация нематика содержит одновременно все эти три элемента. Для иллюстрации их характера укажем простые примеры. Пусть нематическая среда заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрическими по-

^х) Деформирование жидкого кристалла приводит, вообще говоря, к его диэлектрической поляризации и соответственно х возникновению электрического поля (см. VIII, § 17); этот эффект обычно слаб, и мы не будем рассматривать его влияние на механические свойства среды. Мы не будем также рассматривать влияние, которое оказывает на свойства жидких кристаллов внешнее магнитное поле; ввиду анизотропии магнитной (фактически диамагнитной) восприимчиво­сти нематика магнитное тюле оказывает на него ориентирующее действие.

^г) По английской терминологии: splay, twist или bend.

верхностями; г, ф, г — цилиндрические координаты с осью z оо оси цилиндров. Если директор п в каждой точке среды направ­лен вдоль радиуса (п, = 1, гс_ф = п_г = 0), то деформация представ­ляет собой поперечный изгиб (div п = Mr). Если п направлен в каждой точке вдоль окружности с центром на оси z (п_ф = 1, я, =*= п_г. — 0), то мы имеем чистый продольный изгиб (rot₂n = = 1/г). Наконец, если по толщине (ось г) плоскопараллель­ного слоя нематика направление директора меняется по закону л, = cos ф (г), п_у *= sin ф (z), п_г = 0, мы имеем дело с чистым кручением (п rot п = —ф' (г)).

Стенки, ограничивающие занимаемый жидкокристаллической средой объем, и даже ее свободная поверхность оказывают на среду ориентирующее воздействие (об этом будет говориться под­робнее ниже). Поэтому уже само наличие граничных поверхностей приводит, вообще говоря, к деформированию неподвижной жидко­кристаллической среды. Возникает вопрос о нахождении уравне­ний, определяющих эту деформацию; другими словами — об урав­нениях, определяющих равновесное распределение п (г) при за­данных граничных условиях (J. L. Ericksen, 1966).

Для этого исходим из общего термодинамического условия равновесия — минимальности полной свободной энергии тела,

т. е. интеграла J FdV, представляющего собой функционал от функции п (г). Поскольку вектор п единичный, этот'функционал должен быть минимален при дополнительном условии n² = 1. следуя известному методу неопределенных множителей Лагранжа, надо потребовать равенства нулю вариации

бД/⁷ i-4r)n²}dV, (36,3)

X (г) —некоторая функция. Подынтегральное выражение зависит как от самих функций n_t (г), так и от их производных. Имеем^[40])

4^FdV=l{^⁸ⁿt+j^^d*4^dV=

Второй член — интеграл по поверхности тела — существен лишь для нахождения граничных условий. Полагая пока бп = 0 на границах, находим для вариации полной свободной энергии

6 JFdV = - j H6ndV, (36,5)

где Н — вектор с компонентами

Н^д_кЩ1--^., п_и = щ^. (36,6)

Величина Н играет роль поля, стремящегося «выпрямить» направ­ления п во всем объеме жидкого кристалла; его называют моле­кулярным полем.

Уравнение же (36,3) принимает вид

J(H-|-in)8ndV = 0,

откуда ввиду произвольности вариации бп находим уравнение равновесия в виде Н = —Хп. Отсюда X = —Нп, т. е. продольная компонента этого уравнения удовлетворяется за счет выбора X. Поэтому фактически условие равновесия сводится к требованию коллинеарности векторов Н и п в каждой точке среды; продоль­ная же компонента Н не имеет физического смысла. Таким обра­зом, условие равновесия можно записать в виде

h= Н-п(пН) = 0, (36,7)

введя вектор h, для которого nh = 0.

Найдем явное выражение молекулярного поля, соответствую­щего свободной энергии (36,1). Для проведения дифференциро­вания по d_hn_t замечаем, что

div п = д_гя_г, го1_гп = е_ш d_kn_t
(где e_iki—антисимметричный единичный тензор), и поэтому
д div п _х д.

дШТ-**' дШд^т1П~^еш-

В результате получим для тензора n_hi выражение п_м = КАп div n + К₂ (n rot п) ще_т -f К₃ Р rot п] п]_{ е_ш. (36,8)

Дальнейшее дифференцирование, согласно определению (36,6), приводит к следующей довольно сложной формуле для молеку­лярного поля:

Н = V(Ki div n) - \К₂ (n rot n) rot n + rot (K₂ (n rot n) n)[ +

+ \K_S [[n rot n] rot n] -f rot [#₃n [n rot n]]}. (36,9)

Граничные условия к уравнениям равновесия не могут быть установлены в общем виде: они зависят не только от упругой энергии (36,1), но и от конкретного рода взаимодействия жидкости с ограничивающей ее стенкой; эта поверхностная энергия должна была бы быть включена в полную свободную энергию, минималь­ность которой определяют условия равновесия. Фактически эти поверхностные силы обычно настолько велики, что именно они устанавливают направление п на границе, не зависящее от ха­рактера деформации в объеме образца. Если граничная твердая поверхность анизотропна, то это направление оказывается вполне определенным (или одним из нескольких вполне определенных). Если же поверхность изотропна (сюда относится и случай свобод­ной поверхности), то оказывается заданным лишь угол между п и нормалью к поверхности. Если этот угол равен нулю, то п имеет вполне определенное направление — по нормали к поверхности. Если же угол отличен от нуля, то допустимые направления п заполняют коническую поверхность с определенным углом рас­твора.

В этой последней ситуации необходимо поставить дополни­тельное граничное условие. Оно устанавливается требованием обращения в нуль поверхностного интеграла в (36,4) для вариа­ций бп, представляющих собой повороты п вокруг нормали в каж­дой точке поверхности с сохранением угла наклона к ней (т. е. ва­риаций, не меняющих поверхностной энергии). Такая вариация имеет вид бп = [vn ] бф, где v — единичный вектор нормали, а бф — произвольный (в каждой точке поверхности) угол пово­рота. Написав также элемент поверхности в виде di = vdf, по­лучим

*W_imnrt_nv_mv^ df = О,

откуда ввиду произвольности бф следует граничное условие

rtft*e_imn/i_nv_mv_ft = 0, (36,10)

Дата добавления: 2014-11-06