Методические рекомендации 7 страница

^Pdi ^ "ИГ"' °^{1к = X}tklmUl_m = КкШЩт, (29,8)

составляют полную систему уравнений, описывающих динамику упругой среды с движущимися дислокациями (А. М. Косевич, 1962). Фигурирующие в этих уравнениях тензоры p_ik и /_а яв­ляются заданными функциями координат (и времени), характери­зующими распределение и движение дислокаций. Эти функции должны удовлетворять условиям совместности уравнений (29,2) друг с другом и с уравнением (29,6), выражаемым равенствами (29,3) и (29,7).

Условие (29,7) можно рассматривать как дифференциальное выражение «закона сохранения вектора Бюргерса» в среде. Дей­ствительно, проинтегрировав обе стороны уравнения (29,7) по по­верхности, опирающейся на некоторую замкнутую линию L, введя

Из вида этого равенства очевидно, что интеграл в его правой части определяет величину вектора Бюргерса «протекающего» в единицу времени через контур L, т. е. уносимого дислокациями, пересе­кающими линию L. Поэтому естественно назвать j_ih тензором плотности потока дислокаций.

Ясно, в частности, что в случае от­дельной дислокационной петли тензор j_ih имеет вид

ith = e_ilmpi_kV_m = ецпЪУпАЬЦ) (29,10)

в соответствии с выражением (28,2) для пластической деформации при смещении дислокации; здесь v — скорость линии дислокации в данной ее точке. При этом вектор потока через элемент dl кон­тура L (ji_kdl_t) пропорционален d\ [tv] = v Idlx], т. е. проек­ции скорости v на направление, перпендикулярное как dl, так и т; из геометрических соображений очевидно, что так и должно было быть — только эта проекция скорости приводит к пересе­чению дислокацией элемента dl.

Отметим, что след тензора (29,10) пропорционален проекции скорости дислокации на нормаль к ее плоскости скольжения. Выше было указано, что отсутствие неупругого изменения плот­ности среды обеспечивается условием j_u = 0. Мы видим, что для отдельной дислокации это условие означает движение в плоскости скольжения в соответствии со сказанным выше о физической при­роде движения дислокаций (см. примечание 2 на стр. 160).

Наконец, остановимся на случае, когда дислокационные петли в кристалле распределены таким образом, что их суммарный век­тор Бюргерса (обозначим его В) равен нулю *). Это условие озна­чает, что при интегрировании по любому поперечному сечению тела

J_Pjftdf_£ = 0. (29,11)

Отсюда следует, что плотность дислокаций в этом случае может быть нредставлена в виде

Р» = (29,12)

*■) Наличие дислокации связано с некоторым изгибом кристалла, как это схематически изображено в утрированном виде на рис. 26. Условие в = 0 озна­чает отсутствие макроскопического изгиба кристалла а целом.

(F. Kroupa, 1962); тогда интеграл (29,11) преобразуется в интег­рал по контуру, проходящему вне тела и обращается в нуль. Отметим также, что выражение (29,12) автоматически удовлетво­ряет условию (29,3).

Легко видеть, что определенный таким образом тензор P_ih представляет собой плотность дислокационного момента в дефор­мированном кристалле (его естественно назвать поэтому дислока­ционной поляризацией). Действительно, полный дислокационный момент кристалла D_lk равен по определению

D_ih= ^ ⁵ А = ~Yец_т 21^bh<j)^Xl^dxm=4~ j^eHm^XlPmhdV,

D

где суммирование производится по всем дислокационным петлям, а интегрирование — по всему объему кристалла. Подставив сюда (29,12), имеем

г) _ 1 [,.. _х дРя_к,_v _ 1 f / bP_mh dP_ih \,у
L>ih--Y) eu_me_mpqxi-g^ dV -) *m ---------------------- ЪТ^)^ау

и после интегрирования по частям в каждом из двух членов

D_lh = \p_thdV. (29,13)

Плотность же потока дислокаций выражается через тот же тензор P_ih согласно

/* = -Т-- <²⁹'¹⁴>

В этом легко убедиться, например, вычислив интеграл § j_ihdV по произвольной части объема тела с помощью выражения (29,10) как сумму по всем заключенным в этом объеме дислокационным петлям. Отметим, что выражение (29,14) вместе с (29,12) автома­тически удовлетворяют условию (29,7).

Сравнив (29,14) и (29,4), мы видим, что 6до'£^л) = bP_ik. Если условиться считать пластическую деформацию отсутствующей в состоянии с Pik — 0, то будет и wU^ ~ Pik. Подразумевается, что весь процесс деформации происходит при В = 0. Это обстоя­тельство надо подчеркнуть, поскольку между тензорами P_ih и ш|£^л) существует принципиальное различие: в то время как Pik является функцией состояния тела, тензор ы)Ц^л) не есть функция состояния, а зависит от процесса, приведшего тело в данное со­стояние. В этих условиях имеем

Wik = W_ik - wT^] = - Pik, (29,15)

где снова u_h — вектор полного геометрического смещения от поло­жения в недеформированном состоянии. Уравнение (29,6) при этом

удовлетворяется тождественно, а динамическое уравнение (29,8) принимает вид

pu_t - Х_{Шт dx}"™_{xi ==}—Х_Шт—!в. (29,16)

Таким образом, определение упругой деформации, созданной дви­жущимися дислокациями с В = 0, сводится к задаче обычной тео­рии упругости с объемными силами, распределенными по кри­сталлу с плотностью —k_ihi_mdPi_mldx_h.

§ 30. Распределение взаимодействующих дислокаций

Рассмотрим совокупность большого числа одинаковых прямо­линейных дислокаций, расположенных параллельно друг другу в одной и той же плоскости скольжения, и выведем уравнение, определяющее их равновесное распределение. Пусть ось z па­раллельна дислокациям, а плоскость х, z совпадает с плоскостью скольжения.

Будем для определенности считать, что векторы Бюргерса дислокаций направлены вдоль оси х. Тогда сила, действующая в плоскости скольжения на единицу длины дислокации, равна Ьо'ху, где а_ху — напряжение в точке нахождения дислокации.

Напряжения, создаваемые одной прямолинейной дислока­цией (и действующие на другую дислокацию), убывают обратно пропорционально расстоянию от нее. Поэтому напряжение, созда­ваемое в точке х дислокацией, находящейся в точке х', имеет вид bDl(x—х'), где D — постоянная порядка величины упругих модулей кристалла. Можно показать, что эта постоянная D > 0, т. е. две% одинаковые дислокации в одной и той же плоскости скольжения отталкиваются друг от друга (для изотропной среды это показано в задаче 3 § 28).

Обозначим посредством р (х) линейную плотность дислокаций, распределенных на отрезке (а_г, а₂) оси х\ р (х) dx есть сумма векторов Бюргерса дислокаций, проходящих через точки интер­вала dx. Тогда полное напряжение, создаваемое в точке х оси х всеми дислокациями, запишется в виде интеграла

o_xu(x)= ~D J-PSLt. (30,1)

а,

Для точек внутри самого отрезка (a_lf a₂) этот интеграл должен пониматься в смысле главного значения для того, чтобы исклю­чить физически бессмысленное действие дислокации самой на себя.

Если в кристалле имеется также и плоское (в плоскости х, у) поле напряжений (х, у), созданное заданными внешними нагрузками, то каждая дислокация будет находиться под дей­ствием силы b (а_ху + р (х)), где мы обозначили для краткости р (х) — о_Ху (х, 0). Условие равновесия заключается в обращении этой силы в нуль: а_ху + р = 0, т. е.

Jj^_eJ!W__5e(jc)f (ЗОД8)

где главное значение обозначено, как это принято, перечеркну­тым знаком интеграла. Это — интегральное уравнение для опре­деления равновесного распределения р (х). Оно относится к типу сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши.

Решение такого уравнения сводится к задаче теории функций комплексного переменного, формулируемой следующим образом.

Обозначим посредством Q (z) функцию, определенную во всей плоскости комплексного г (с разрезом по отрезку (а_А, а₂)), как интеграл

Q(₂)=J-^-. (30,3)

о* -

Посредством Q* (х) и Q~ (х) обозначим предельные значения Q (г) на верхнем и нижнем берегах разреза- Они равны таким же интег­ралам, взятым по отрезку (а_г, сц) с обходом точки z = я соответ­ственно снизу или сверху по бесконечно малой полуокружности, т. е.

а,

Q± _W „ J P^f _{± inpix}). (30,4)

*«

Если р (£) удовлетворяет уравнению (30,2), то главное значение интеграла равно со (х), так что имеем

Q⁺ (х) + Q- (х) ** 2ш (х), (30,5)

Q⁺ (х) — Or (х) * 2 шр (ж). (30,6)

Таким образом, задача о решении уравнения (30,2) эквивалентна задаче об отыскании аналитической функции Q (г) со свойством (30,5), после чего р (х) определяется по (30,6). При этом физиче­ские условия рассматриваемой задачи требуют также, чтобы было Q (се) = 0; это следует из того, что вдали от системы дислокаций (* ±оо) напряжения а_ху должны обращаться в нуль (по опре­делению (30,3), вне отрезка (%, о_а): а_ху (х) = —DQ (*)).

Рассмотрим сначала случай, когда внешние напряжения от­сутствуют (р (х) = 0), а дислокации сдерживаются какими-либо препятствиями (дефектами решетки) на концах отрезка (a_lt og). При со (х) = 0 имеем из (30,5): Q⁺ (х) =* —Or (х), т. е. функция Q (г) должна менять знак при обходе каждой из двух точек a_v а_г. Этому условию удовлетворяет любая функция вида где Р (?) — полином. Условие же Q (оо) = 0 фиксирует (с точ­ностью до постоянного коэффициента) выбор Р (z) = 1, так что

Я (г) = ¹ =-. (30,8)

Такой же вид будет иметь, согласно (30,6), и искомая функция р (х). Определив коэффициент в ней согласно условию

J,p®rfg = B (30,9)

(В—сумма векторов Бюргерса всех дислокаций), получим
р (х) - ^В. (30,10)

Мы видим, что дислокации скапливаются по направлению к пре­пятствиям (границам отрезка) с плотностью, обратно пропорцио­нальной корню из расстояний до них. По такому же закону воз­растают при приближении к а_у или а₂ напряжения вне отрезка (а_и а₂); так, при х > %

________ BD________

V (х — а₂) (а₂ — oj)

Другими словами, концентрация дислокаций у границы приво­дит к таком же концентрации напряжений по другую сторону границы.

Предположим теперь, что в тех же условиях (препятствия в заданных концах отрезка) имеется также и внешнее поле на­пряжений р (х). Обозначим посредством □„ (г) функцию вида (30,7) и перепишем равенство (30,5) (разделив его на QJ = —Яо) в виде Q+ (х) Q- (х) 2со (х)

Сравнив это равенство с (30,6), заключаем из него, что

a,

где P (г) — полином. Решение, удовлетворяющее условию q (со) = 0, получим, выбрав в качестве й₀ (г) функцию (30,8) и положив Р (г) = С (С — константа). Искомая функция р (х) находится отсюда по формуле (30,6) и равна

=~ ^ViJxnt-a, btt)^(a.-6)(6-ai)_T5_r+

а,

Постоянная С определяется условием (30,9). И здесь р (х) воз­растает при х -> а₂ (или х -> а_х) по закону (а₂ — *)~^1/!, а по дру­гую сторону препятствия возникает такая же концентрация на­пряжений.

Если препятствие имеется только с одной стороны (скажем, в точке а₂), ^т0 искомое решение должно удовлетворять условию конечности напряжений при всех х < а_г, включая точку х — а_х; при этом само положение последней точки заранее неизвестно и должно определиться в результате решения задачи. В терминах й (г) это значит, что Q (а_х) должно быть конечным. Такая функ­ция (удовлетворяющая также'и условию Q (со) = 0) получится по той же формуле (30,11), если в качестве й₀ (^z) выбрать функцию

О,

тоже относящуюся к виду (30,7), и положить в (30,11) Р (г) = 0. В результате получим

(30,13)

При х-+а_х р (х) обращается в нуль как У х — а_х. По такому же закону стремится к нулю с другой стороны точки а_х полное на­пряжение а_ху (х) -f- р (х).

Наконец, пусть препятствия отсутствуют в обоих концах отрезка и дислокации сдерживаются лишь внешними напряже­ниями р (х). Соответствующее Q (г) получим, положив в (30,11)

Qo(z) = Y(a₂-z)(z-a_x), 7>(z) = 0.

Однако условие Q (со) = 0 требует при этом соблюдения допол­нительного условия: произведя в (30,11) предельный переход к г со, найдем

"{----------------------------------------------------- _{= Q (30) М)}

J V(^-l)(l-a_x)

Искомая функция р (х) дается формулой

^HW "^{2 V м V} 5 V(a_%-\)(l-a_x) Е-*'

(30,15)

причем координаты %, а₂ концов отрезка определяются условиями (30,9) и (30,14).

Задача

Найти распределение дислокаций в однородном поле напряжений (р (х) = р₀) на участке с препятствием на одном или на обоих концах.

Решение. В случае препятствия на одном конце (а₂) вычисление инте­грала (30,13) дает

Из условия же (30,9) определяется длина участка расположения дислокаций: о₂— а_х = 2BD/p₀. Вблизи препятствия, по другую сторону от него, напряже­ния концентрируются по закону

ГЛАВА V

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ и вязкость ТВЕРДЫХ ТЕЛ

§ 31. Уравнение теплопроводности в твердых телах

Неравномерная нагретость твердой среды ие приводит к воз­никновению в ней конвекции, как это обычно имеет место в жид­костях. Поэтому перенос тепла осуществляется здесь одной только теплопроводностью. В связи с этим процессы теплопроводности в твердых телах описываются сравнительно более простыми урав­нениями, чем в жидкостях, где они осложняются конвекцией.

Уравнение теплопроводности в твердой среде может быть вы­ведено непосредственно из закона сохранения энергии, выражен­ного в виде уравнения непрерывности для количества тепла. Количество тепла, поглощаемое в единицу времени в единице объема тела, равно Т dS/dt, где [S — энтропия единицы объема» Эта величина должна быть приравнена — div q, где q — плот­ность потока тепла. Этот поток практически всегда пропорциона­лен градиенту температуры, т. е. может быть записан в виде q — = —х VT (х — теплопроводность). Таким образом,

Г-|^ = Шу(х_уГ). (31.1)

Согласно формуле (6,4) энтропия может быть написана в виде

S = S₀ (Г) + Каи_и,

где а — температурный коэффициент расширения, a S₀ — энтро­пия тела в недеформированном состоянии. Будем предполагать, что, как это обычно имеет место, имеющиеся в теле разности тем­ператур достаточно малы для того, чтобы можно было считать по­стоянными такие величины, как х, а и т. п. Тогда уравнение (31,1) после подстановки написанного для S выражения примет вид

Т ^sl+ aKT^i- = х AT.

Согласно известной термодинамической формуле.имеем

С_р — С„ = Ка?Т. Производную от S₀ можно написать как dS_B _ as₀ дТ ■_ С_в дТ dt ~ дТ dt ~ Т dt

(производная dS₀/dT берется при и_н = div и == 0, т. е. при по­стоянном объеме).

В результате получим уравнение теплопроводности в следую­щем виде:

C^₊_£jL^^divu==xA7\ (31,2)

Для того чтобы получить полную систему уравнений, надо при­соединить сюда еще уравнение, определяющее деформацию не­равномерно нагретого тела. Этим уравнением является уравнение равновесия (7,8)

2 (1 - о) grad div u - (1 - 2а) rot rot u = ^{2a (1}₃^{+ q)} yT. (31,3)

Из уравнения (31,3) может быть определена, в принципе, деформа­ция тела при произвольно заданном распределении температуры. Подстановка полученного таким образом для div и выражения в уравнение (31,2) приведет к уравнению, определяющему рас­пределение температуры, в котором неизвестной функцией яв­ляется одна только Т (х, у, г, t).

Рассмотрим, например,.теплопроводность в неограниченной твердой среде с распределением температуры, удовлетворяющим только одному условию: на бесконечности температура стре­мится к постоянному пределу Т₀ и деформация отсутствует. В та­ком случае уравнение (31,3) приводит к следующей зависимости между div и и Т (см. задачу 8 § 7):

dvu= ₃₍\1*_д) а(Т-П).

ПоДставляя это выражение в (31,2), получим уравнение

3(2-a) dt \^ai>V

типа простого уравнения теплопроводности.

Уравнением такого же типа описывается и распределение температуры вдоль длины тонкого прямого стержня, если хотя бы один из его концов не закреплен. Распределение температуры вдоль каждого из поперечных сечений стержня можно считать постоянным, так что Т будет функцией только от координаты х вдоль его длины (и от времени). Тепловое расширение такого стержня приводит только к изменению его длины без изменения прямолинейной формы и без возникновения внутренних напря­жений в нем. Ясно поэтому, что производная dS/dt в общем урав­нении (31,1) должна браться при постоянном давлении, и по­скольку {dS/dt)_p = С_р/Т, то распределение температуры будет описываться одномерным уравнением теплопроводности

dt ~ ⁵⁴ дх* '

Надо, впрочем, отметить, что с практически достаточной точ­ностью распределение температуры в твердом теле может всегда определяться простым уравнением теплопроводности. Дело в том, что второй член в левой стороне уравнения (31,2) представляет собой поправку порядка (С_р — C₀)IC_V по сравнению с первым членом. Но у твердых тел разница между различными тепло-емкостями обычно весьма мала, и если пренебрегать ею, то уравне­ние теплопроводности в твердых телах можно всегда писать в виде

~- = %ЬТ, (31,5)

где х — есть температуропроводность, определяемая как от­ношение х ⁼ — коэффициента х к некоторой средней теп­лоемкости С единицы объема.

§ 32. Теплопроводность кристаллов

В анизотропном теле направление потока тепла q не должно, вообще говоря, совпадать с направлением градиента темпера­туры. Поэтому вместо формулы q = —к у Т между q и градиен­том температуры в кристалле имеет место более общая зависимость

<7«= — Kth-^- (32,1)

Тензор второго ранга K_lh называют тензором теплопроводности кристалла. Соответственно этой зависимости уравнение тепло­проводности (31,5) тоже будет иметь более общий вид

Тензор теплопроводности симметричен:

K_ih = x_fti. (32,3)

Это утверждение, к доказательству которого мы теперь перей­дем, является следствием принципа симметрии кинетических коэффициентов (см. V, § 120).

Скорость увеличения полной энтропии тела благодаря необра­тимым процессам теплопроводности равна

¹ $ш>л = - J ^p-dV = - J div-f dV -f J q grad ± dV.

Первый интеграл, будучи преобразован в интеграл по поверх­ности, исчезает. Таким образом, получаем

или

S_aoa = -\-f_rq_t-^_rdV. (32,4)

дТ дТ дТ

У^{ dxi ^K'^h dxi дх_к

должна быть существенно положительной, поскольку положи­тельной должна быть производная (32,4) от энтропии по времени. Условием существенной положительности квадратичной формы является, как известно, положительность главных значений матрицы ее коэффициентов. Поэтому все главные значения тен­зора теплопроводности n_ih всегда положительны, что, впрочем, очевидно и из простых соображений о направлении теплового потока.

Число различных независимых компонент тензора %_ik зави­сит от симметрии кристалла. Поскольку тензор n_ik симметричен, это число такое же, как у симметричного тензора второго ранга a_ik (тензора теплового расширения; см. § 10).

§ 33. Вязкость твердых тел

При изучении движения в упругих телах мы до сих пор счи­тали, что процесс деформирования происходит обратимым обра­зом. В действительности процесс термодинамически обратим, только если он происходит с бесконечно малой скоростью, так что в каждый данный момент в теле успевает установиться состоя­ние термодинамического равновесия. Реальное движение проис­ходит, однако, с конечной скоростью, тело не находится в каждый данный момент в равновесии, и поэтому в нем происходят про­цессы, стремящиеся привести его в равновесное состояние. Нали­чие этих процессов и приводит к необратимости движения, про­являющейся, в частности, в диссипации механической энергии, переходящей в конце концов в тепло ^[27]).

^х) Используется определение в форме, данной в VI, § 59.

Диссипация энергии обусловливается процессами двух ро­дов. Во-первых, при неодинаковости температуры в разных местах тела в нем возникают необратимые процессы теплопроводности. Во-вторых, если в теле происходит какое-нибудь внутреннее дви­жение, то происходят необратимые процессы, связанные с конеч­ностью скорости движения; эти процессы диссипации энергии можно назвать, как и в жидкостях, процессами внутреннего тре­ния или вязкости.

В большинстве случаев скорость макроскопического движе­ния в теле настолько мала, что диссипация.энергии незначительна. Такие «почти обратимые» процессы могут быть описаны с по­мощью так называемой диссипативной функции (см. V, § 121).

Именно, если имеется некоторая механическая система, дви­жение которой сопровождается диссипацией энергии, то движение может быть описано посредством обычных уравнений движения, в которых надо только к действующим на систему силам доба­вить диссипатшные силы или силы трения, являющиеся линей­ными функциями скоростей. Зги силы могут быть представлены в виде производных по скоростям от некоторой квадратичной функции скоростей, называемой диссипативной функцией R. Сила трения /„, соответствующая какой-нибудь из обобщенных координат q_a системы, имеет тогда вид

_f dR

^U ~~ д_Яа •

Диссипативная функция является существенно положительной квадратичной формой скоростей q_a. Написанное соотношение эквивалентно соотношению

■ (зз,1)

-а

где bR — изменение диссипативной функции при бесконечно ма­лом изменении скоростей. Можно также показать, что удвоенная диссипативная функция 2jR определяет уменьшение механической энергии системы в единицу времени.

Легко обобщить соотношение (33,1) на случай движения с тре­нием в сплошном теле. В этом случае состояние системы опреде­ляется непрерывным рядом обобщенных координат. Этими коорди­натами является вектор смещения и, заданный в каждой точке тела. Соответственное этому соотношение (33,1) должно" быть написано в интегральном виде:

o\RdV = — IftbvtdV, (33,2)

где v = u, a f — диссипативная сила, действующая на единицу объема тела; мы пишем полную диссипативную функцию всего

тела в виде J R dV, где R — диссипативная функция, отнесенная к единице объема тела.

Определим теперь общий вид диссипативной функции R для деформируемых тел. Функция R, описывающая внутреннее тре­ние, должна обращаться в нуль, если в теле отсутствует внутрен-

«331

вязкость твердых тел

нее движение, в частности, если тело совершает только поступа­тельное или вращательное движение как целее. Другими словами, диссипативная функция должна обращаться в нуль при v = const и при v = [qr ]. Это значит, что она должна зависеть не от самой скорости, а от ее градиента, причем может содержать лишь та­кие комбинации производных, которые обращаются в нуль при v = Юг]. Таковыми являются суммы

v - ¹ (, дои \

^vik- — {_dXk -т~дхТ)>

т. е. цроизводные тензора деформации по времени [28]). Таким обра­зом, диссипативная функция должна быть квадратичной функцией от v_ih. Наиболее общий вид такой функции:

R = ЧъЧшпРтЩт- (33,3)

Тензор четвертого ранга т|шт может быть назван тензором вяз­кости. Этот тензор обладает следующими очевидными свойствами симметрии ^а):

Г)Шт = ЧШК — yihilm = nikml- (33,4)

Выражение (33.3) аналогично выражению (10", 1) для свобод­ной энергии кристалла! вместо тензора упругости в нем стоит теперь тензор r\_mmt а вместо u_ih—тензор v_ih. Поэтому все ре­зультаты, полученные в § 10 для тензора Я,шл» в кристаллах различной симметрии, в полной мере относятся и к тензору t[_Ai_m.

В частности, в изотропном теле тензор Цшт имеет всего две независимые компоненты и R может быть написано в ниде, ана­логичном выражению (4,3) для упругой энергии изотропного тела:

R = 1 (»» - 4" 6i_ko,i)² + -§- vh, ' (33,5)

где tj и £—два коэффициента вязкости. Поскольку R—су­щественно положительная функция, коэффициенты tj, £ должны быть положительными.

Соотношение (33,2) аналогично соотношению, имеющему место для свободной упругой энергии:

б \FdV = —\FibUidV,

где F_t — da_ih7dx_h — сила, действующая на единицу объема тела. Поэтому выражение для диссипативной силы через тензор v_ih может быть написано непосредственно по аналогии с тем, как F_t выражается через u_ih:

где диссипативный тензор напряжений а'ш определяется посред­ством

O'ik = ^ = TliklmVlm- (33,7)

Учет вязкости в уравнениях движения может быть осуществлен, следовательно, просто путем замены тензора напряжений o_lh в этих уравнениях суммой о«+ а'щ. В изотропном теле

o'ik = 2м (v_tk—4"o_ikv_;/) -f Ivubik. (33,8)

Это выражение, естественно, формально совпадает с выражением для вязкого тензора напряжений в жидкости.

§ 34. Поглощение звука в твердых телах

Коэффициент поглощения звука в твердых телах может быть вычислен вполне аналогично тому, как это делается для жидкостей (см. VI, § 79). Произведем здесь соответствующие вычисления для изотропного тела.

Диссипация механической энергии в теле дается суммой

Ё_шх = - liyTfdV - 2 j RdV,

где первый член обусловлен теплопроводностью, а второй — вязкостью. Воспользовавшись выражением (33,5), имеем, таким образом, формулу

=--fj(vTfdV - 2r| j(v_ih-4-б_№о„УdV-t\vh dV.

(34,1)

Для вычисления градиента температуры пользуемся тем, что звуковые колебания в первом приближении адиабатичны. С по­мощью выражения (6,4) для энтропии пишем условие адиаба-тичности в виде

S₀ (Т) + Каи_п = S₀ (T_Q),

где Т₀ — температура в недеформированном состоянии. Разла­гая разность S₀ (Т) — S₀ (Т₀) в ряд по степеням Т — Т₀, имеем с точностью до членов первого порядка

• S. (Г) - S₀ (Го) = (Г-Т₀)-^=-^(Т_7\,)

(производная от энтропии берется при и_н = 0, т. е. при постоян­ном объеме). Таким образом, имеем

Воспользовавшись также соотношениями

А = лиз = "с^'^/^ад> —р Ci 2~С(,

переписываем это выражение в виде

7-_Г₀ = --^Р(с?-4с?)и«. (34,2)

Рассмотрим сначала поглощение поперечных упругих волн. Теплопроводность вообще не может привести к поглощению та­ких волн (в рассматриваемом приближении). Действительно, в поперечной волне u_it — О, и потому температура в ней, согласно (34,2), постоянна. Пусть направление распространения волны выбрано в качестве оси х; тогда

и_х = 0, и_у — и_0у cos (kx — со/), u_z = и_0г cos (kx — со^)
и из компонент тензора деформации отличны от нуля только
и_ху =----------------- sin (kx — (at), u_xz = — sin (kx — at).

Дата добавления: 2014-11-06